Согласно «Словарю собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко, Лагань – слово женского рода. Правильно: живу в Лагани.
Если речь идет о результатах деятельности, то верно: отчет об этапе. См. также ответ на вопрос № 312677.
Существительное этап требует предлога на: на первом этапе.
Здесь лучше: ...на заключительном этапе.
Да, фамилия склоняется (и мужская, и женская): Коцаги, Коцаге и т. д.
Справочники подобные случаи не фиксируют. Корректно это название не склонять.
Корректно с запятыми: слова на финальном этапе благоустройства территории носят поясняющий характер.
В отделе корпусной лингвистики и лингвистической поэтики Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН нам ответили следующее.
«Русская грамматика» 1980 г. была фундаментальным изданием, которое охватывает все уровни структуры русского языка, включая фонетику (что не характерно для обычных грамматик). С тех пор инструменты изучения языка изменились – появились корпусные и компьютерные методы в связи с разработкой корпусов, в том числе – Национального корпуса русского языка. Поэтому естественно, что следующие поколения грамматик будут корпусными. Первый опыт такой грамматики на материале НКРЯ осуществлен группой исследователей ИРЯ РАН, МГУ, ИЛИ РАН (СПб), СПбГУ, ВГУ и др. институтов и университетов. Результаты исследований размещены на сайте http://rusgram.ru/. К сожалению, сейчас доступна только старая версия сайта (новая дорабатывается). Там размещены результаты корпусных исследований по основным разделам грамматики русского языка. Те, кто предпочитает получать информацию из печатных изданий, могут обратиться к трехтомнику:
Материалы к Корпусной грамматике русского языка. Выпуск I. Глагол. 2016.
Материалы к Корпусной грамматике русского языка. Выпуск II. Синтаксические конструкции и грамматические категории. 2017.
Материалы к Корпусной грамматике русского языка. Выпуск III. Части речи и лексико-грамматические классы. 2018.
Однако в трехтомнике опубликованы не все материалы, размещенные на сайте, так что к сайту все-таки тоже имеет смысл обращаться.
Подобные аббревиатуры в строгой деловой письменной речи не склоняются. В разговорной речи склонение возможно.