В документе - первый вариант. В жизни: выпускник Кадомской средней школы.
Корректно: в языковую школу.
Оба выражения верны. Сочетания преподаватель школы, преподаватель лицея часто используются как официальные наименования лиц по профессии, а сочетания преподаватель в школе / в лицее — варианты, отмечающие место работы человека.
Правильно: ГБОУ «Школа...» провело мероприятия. Сказуемое согласуется со словом учреждение. Ср.: кинотеатр «Родина» открылся после ремонта (не открылась).
Нет, и в этом случае нужны кавычки, название не склоняется. Правильно так: директор ГБОУ «Школа № 11111 "Знайка"».
Название обычно не склоняется, если род обобщающего нарицательного слова и топонима не совпадают. Верно: музей, школа села Прасковея.
Можно сказать: школа пополнилась двадцатью учениками.