Да, мужская фамилия склоняется.
Фамилия Дробаха склоняется (и мужская, и женская).
Транскрипция слова «обтяжка» выглядит следующим образом: [апт’а́шка].
См. https://gramota.ru/biblioteka/spravochniki/russkij-yazyk-kratkij-teoreticheskij-kurs-dlya-shkolnikov
Такую фамилию лучше склонять с сохранением гласного, чтобы из форм косвенных падежей можно было безошибочно восстановить форму именительного падежа: Козачёк, Козачёка, Козачёку, Козачёка, Козачёком, о Козачёке.
Слово театр-студия фиксируется словарями как отдельная лексическая единица, функционирующая как самостоятельное слово. Однако в этой единице сохраняется изменяемость обоих элементов, а следовательно, она занимает промежуточное положение между производным словом и подчинительным словосочетанием, включающим определяемый (театр) и определяющий (студия) компонент. Как производное слово театр-студия должно рассматриваться как сложение, однако следует понимать, что у большинства сложносоставных слов есть существенные словообразовательные и морфологические отличия от классических сложений типа паровоз (две основы и соединительная гласная).
