Мы выбрали бы дефисное написание: арт-порт. Именно потому, что слово порт есть в русском языке.

Для названия блюд кавычки не нужны. В бытовом употреблении корректно: помидоры черри.

В обоих случаях следует писать при порте: при Архангельском порте; в таможенной комиссии при Архангельском порте.

Подробнее см. в ответе 285378.

Согласно «Словарю географических названий Якутской АССР» (М., 1987) название реки Эльге́ (Эльги́), с которым связаны обсуждаемые наименования, имеет ударение на втором слоге. Поэтому можно рекомендовать и в этих наименованиях ставить ударение на второй слог.

Да, запятой быть не должно. Вводные слова и сочетания слов, стоящие на границе однородных членов или частей сложного предложения и относящиеся к следующему за ними слову или предложению, не отделяются от него запятой (вторая запятая опускается с целью указания на отнесенность вводного слова к последующей части предложения).

Правильно: Обращает на себя внимание тот факт, что такие источники поступления доходов, как сбор за выдачу разрешений, не предусмотрены статьей 133.

В Вашем примере эти слова выступают в роли обстоятельства образа действия.

Корректен первый вариант (в первый и в последний день).

Наречие прочувственно имеет то же значение, что и наречие прочувствованно, однако, на наш взгляд, имеет несколько архаический оттенок (хотя словарями это и не отмечается). См.: — Немыслимо, уважаемый гражданин доктор, — прочувственно сказал пожарный и руки молитвенно сложил, — никакой возможности [М. А. Булгаков. Вьюга (1926)]; Теперь Юрию Юрьевичу очень хотелось рассказать обо всем этом прочувственно, с лирикой, но Вовка перебил... [Сергей Залыгин. Уроки правнука Вовки // «Новый мир», 1997] и др. 

Яичницу такого типа в русском языке называют болтуньей — и содержание этого слова понятно любому носителю языка. Тогда как под названием смешанная яичница (по всей видимости, это калька немецкого Rührei) может скрываться всё что угодно.