В обоих примерах запятые не нужны.

Все названные Вами варианты обращения возможны.

Именно такой вариант – ярославка – зафиксирован в словаре И. Л. Городецкой и Е. А. Левашова «Русские названия жителей» (М., 2003), а также в «Толковом словаре названий женщин» Н. П. Колесникова  (М., 2002). Слово ярославна как нарицательное существительное в значении 'жительница Ярославля' в доступных нам изданиях не зафиксировано. «Википедия», впрочем, тоже отмечает, что в разговорной речи для жительниц Ярославля применяется этнохороним ярославна. Однако литературной норме такое употребление не соответствует.

Обстоятельственный оборот с предлогом в соответствии, находящийся между подлежащим и сказуемым, нужно обособить: В связи с вышеизложенным Ваше обращение, в соответствии с частью 3 статьи 8 Федерального закона от 02.05.2006 № 59-ФЗ «О порядке рассмотрения обращений граждан Российской Федерации», направлено для рассмотрения в Министерство внутренних дел по Республике Башкортостан.

Запятая нужна в конце придаточного предложения, но лучше вместо запятой и тире использовать двоеточие: В некоторых семьях зеркала становятся спасением в те моменты, когда ребенок сильно капризничает: стоит только родителям поднести свое чадо к зеркалу, как малыш тут же успокаивается, увлекшись игрой со своим отражением.

1. Если части сложносочиненного предложения представляют собой побудительные предложения, запятая перед союзом и не ставится. Таким образом, запятая перед союзом не требуется в обоих примерах.

2. Если речь идет о третьем лице, Наталья является не обращением, а подлежащим (молодец – сказуемым). Запятая между подлежащим и сказуемым не ставится.

Написание следующего за обращением, выделяемым восклицательным знаком, слова со строчной буквы в данном случае не ошибка, а характерная особенность письменной речи XVIII-XIX вв. («Остров Борнгольм» написан Н. М. Карамзиным в 1793 году). По современным правилам пунктуации здесь, конечно, должна быть прописная буква, с этим никто не спорит. Однако в текстах русских писателей-классиков продолжение предложения со строчной буквы после восклицательного знака – не редкость. В оригинальном тексте: «Друзья!  прошло  красное лето, златая осень  побледнела...»

Без контекста однозначный ответ дать невозможно. Сочетание ателье «Кружево» может быть обращением и выделяться запятой, сравним: Спасибо, ателье «Кружево»! Спасибо, мастерская «Ромашка»! Но слово ателье может и выступать в качестве зависимого существительного в дательном падеже (сравним значение 2.0 слова спасибо в «Большом универсальном словаре русского языка» и примеры Спасибо Ане, Спасибо дождику), сравним: Спасибо ателье «Кружево»! Спасибо мастерской «Ромашка»!

В значении 'сфера экономики со свободным обращением товаров, услуг, капиталов, в процессе которого формируются спрос, предложение, цена' слово рынок действительно начало сочетаться с предлогом в в контекстах, для исходного значения ('место розничной или мелкооптовой торговли') непривычных. Особенно часто такое употребление встречается в текстах экономической направленности, но «Большой толковый словарь русских существительных» под ред. Л. Г. Бабенко приводит аналогичный пример из художественного текста: И на что нам рассчитывать, подумайте сами! В общий рынок нас никто не пустит (Ерофеев).