Написание слов правильное.
Если директор — женщина Алиса Иванова, то верно: в лице директора Алисы Ивановой.
Это сочетание неудачно стилистически.
Форма именительного падежа мн. ч. - полотенца.
Да, эта фамилия склоняется (и мужская, и женская).
Глагол-сказуемое нужно поставить в форму второго лица: Если вы или ваши родители испытываете... В «Справочнике по правописанию, произношению, литературному редактированию» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой указано: «Если среди однородных подлежащих имеются личные местоимения, то при согласовании в лице первому лицу отдается предпочтение перед вторым и третьим, а второму лицу — перед третьим, например: Потом, с позволения Мими, я или Володя отправляемся в карету... (Л. Толстой); И я и ты добьемся своего; И ты и он можете приступить к работе завтра».
Да, верно.
Нужно второе тире: Я надел эту никчёмную вещь — прогнивший ботинок — и вышел на улицу.
Корректно без запятой.
Нет, тире не нужно.
