Кавычки не нужны. Но лучше сказать "пишет как курица лапой".
Здесь нет ничего необычного. В формах прошедшего времени в основе глагола используется та же гласная, что и в инфинитиве: кише-ть - кише-л. Гласная "И" в личных формах (кишит, кишим...) обусловлена спряжением (второе спряжение).
Собственные существительные подчиняются тем же правилам переноса, что и нарицательные. В соответствии с ними они либо подлежат переносу (Рос-сия, Вла-ди-мир), либо не подлежат (Азия, Майя).
Категория переходности не зависит от контекста. Глагол хранить переходный.
Пунктуация верна.
Правильно: встревает.
Нормативно только рекламировать. Глагола рекламить нет в нормативных словарях русского языка.
Все глаголы, которые не относятся ко II спряжению, относятся к I спряжению. Подробнее см. в "Правилах русской орфографии и пунктуации".
Слова *отстригнуть не существует. Правильно только отстричь.
Возможно и единственное, и множественное число сказуемого. Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».
