В предложении есть стилистическая ошибка, связанная с использованием деепричастного оборота, соотносимого с безличным сказуемым.
Лучше использовать форму ед. числа.
Представляется более корректным считать за грибами дополнением (пошли за чем?). Но не будет ошибкой и такой разбор этого предложения, при котором слова за грибами будут выделены как обстоятельство цели (пошли с какой целью?).
Конкретизируйте, пожалуйста, вопрос. Вы хотите спросить о категории одушевленности? Или о падеже при отрицании?
По общему правилу: пишутся с одной Н полные прилагательные и причастия, образованные от бесприставочных глаголов несовершенного вида (здесь - "плавить"). Две Н пишутся при наличии у причастия зависимых слов.
Это вводное слово, не член предложения.
Правильно: Совмин. Нормы русской орфографии не допускают слитные написания с одной прописной буквой в середине слова.
