Да, по правилам фамилия Луць, принадлежащая мужчине, должна склоняться. В противном случае контексты типа принадлежит А. И. Луць (вместо принадлежит А. И. Луцю), наградили А. И. Луць (вместо наградили А. И. Луця), говорили об А. И. Луць (вместо говорили об А. И. Луце) будут ясно показазывать, что речь идет о женщине. 

Указанная в скобках запятая не нужна. См. ответ на вопрос 320270.

Знаки препинания расставлены корректно.

Да, запятая нужна.

Знаки препинания расставлены правильно. Возможна постановка тире: Написала ей сообщение — и знаете, что она ответила?

Обстоятельство по набережной само по себе достаточно конкретно, а потому не нуждается в уточнении, следовательно обстоятельство вдоль песчаного пляжа не требует обязательного обособления. В то же время это обстоятельство можно считать уточнением (песчаный пляж — часть набережной) и прочитать предложение с соответствующей интонацией. Таким образом, в этом случае постановка запятых факультативна. Сравним подобные примеры, допускающие двоякое прочтение, в учебном пособии А. Ф. Прияткиной «Русский язык: Синтаксис осложненного предложения» (М., 1990): Это случилось в одной гористой местности (,) на юге Италии; На берегах этих рек (,) в глубоких норах (,) живут водяные крысы (с. 75).

Для начала уточним смысловые свойства слова эти. Оно принадлежит категории указательных местоимений и не обладает самостоятельным лексическим значением, а лишь указывает на то, что говорящему представляется важным. Это может быть что-либо важное в реальной ситуации. Это может быть то важное, о чем ранее уже шла речь (то есть говорящий отсылает к ранее сказанному). Резюме: значение местоимения эти зависит от контекста в его реальном (внеязыковом) воплощении и в речевом оформлении. Далее: выражение эти выходные из-за смысловых особенностей указательного местоимения не следует соотносить с календарем. Нужно прислушаться к словам говорящего и понять, что он имеет в виду, когда употребляет эту фразу. Действительно, кто-то может сказать: в эти выходные мы ездили на дачу. У кого-то будут все основания сказать: в эти выходные мы поедем на дачу. У слушающего нет иной возможности (благодаря глаголу), как однозначно истолковать эти высказывания и сделать правильные выводы о подразумеваемых днях. Выражение следующие выходные так же контекстно зависимо. В толковании 'наступающий вслед за чем-либо, ближайший после чего-либо' обозначены смысловые переменные: за чем-либо, после чего-либо. Все уточнения (сведения о точках отсчета) вносит в значение выражения конкретный контекст. Вывод: обсуждаемые речевые обороты, несмотря на то что в высказываниях сообщают информацию о конкретных датах, сами весьма относительны по смысловым признакам. Это свойство закрывает оборотам «дорогу» в деловые и научные тексты. В повседневном общении собеседники всегда могут попросить сделать дополнения и уточнения, если дни описываются при помощи таких указательных оборотов и появляются сомнения в их верном толковании.