Настоятель и иерей — неоднородные приложения к имени (должность и степень священства соответственно); обособление какого-либо из этих компонентов не требуется: Настоятель храма Ильи Пророка иерей Константин Воронов принял участие в торжественном событии.

При отрицании признака не пишется раздельно, при утверждении отрицательного признака не следует писать слитно. См. раздел «Слитное/раздельное написание не» в «Правилах русской орфографии и пунктуации» под редакцией В. В. Лопатина.

В этом предложении фраза «после урагана» является обстоятельством времени, которое относится только к первой части сложносочинённого предложения (наступил штиль). На разновременность действий указывает разный вид глаголов наступил и поднимался. Поэтому запятая нужна: После урагана наступил штиль, и чёрный дым поднимался к безоблачному небу, бросая на воды океана огромную тень в несколько километров.

Запятая нужна. Подробнее см. в "Справочнике по пунктуации".

В первом предложении можно поставить тире или запятую. Во втором предложении дополнительные знаки препинания не требуются.

"Справка" не выполняет домашних и тестовых заданий.

Фраза некорректна, но эта некорректность может быть сознательной: она создает комический эффект. Ошибка в том, что сочинительным союзом соединяются логически и синтаксически неоднородные слова (с лимоном — определение к слову чай, а с наслаждением — обстоятельство образа действия).

К сожалению, смысл предложения не вполне понятен. Почему в однородном ряду оказались слова страна и область? О какой области идет речь? К чему относится в частности? Предположим, что к обороту к инфекции COVID-19, тогда запятую нужно перенести: ...проводится изучение популяционного иммунитета страны, в частности к инфекции COVID-19. Если речь и дет о проекте, который стартовал недавно, то логичнее в придаточной части поставить глагол в форму будущего времени (Был дан старт проекту, в рамках которого проведут изучение...) или отметить, что исследование началось (Был дан старт проекту, в рамках которого начато изучение...).