Если деепричастный оборот открыв рот используется не в буквальном, а в переносном смысле ('изумленно, удивленно'), он имеет значение обстоятельства образа действия и не обособляется. Об условиях необособления деепричастных конструкций, см., например, параграф 71 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.
Все три варианта возможны, мы бы выбрали первый.
Правильно: благодарить кого-либо за поддержку чего-либо, в чем-либо.
Можно считать эти слова частью составного сказуемого.
Верно: Мы-то знаем цену его публичным декларациям.
Не видим оснований для постановки дополнительных знаков препинания.
Корректно: Его основная цель — обеспечить соответствующее качество и, если необходимо, улучшить его.
