В связи и в течение всегда пишутся раздельно. Слитное написание невозможно.
Это равноправные варианты. В любом контексте они взаимозаменяемы.
А что, возможны разные случаи? Приведите, пожалуйста, примеры употребления.
Во многих случаях это взаимозаменяемые слова. Значение и особенности употребления можно уточнить в наших электронных словарях.
Глагола повешать нет в русском литературном языке. Правильно: повесить, повесили.
В течение – предлог (то же, что 'во время, в ходе'), например: в течение жизни. В течении – сочетание предлога в и существительного течение, например: в течении реки.
В церковно-религиозных текстах оба слова пишутся с прописной: Святые Отцы. См.: Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2011.
О правописании не с наречиями см. в «Правилах».
См. в «Словаре трудностей».
