Мужская фамилия Флейшер склоняется, женская – нет. Таковы законы русской грамматики, их нельзя нарушать по собственной прихоти.

Слово мурал уже зафиксировано в академическом орфографическом словаре: мура́л, -а (уличная настенная живопись) и мура́ль, -и (настенная живопись в интерьере) [добавление 2023]; мура́л-а́рт, -а [добавление 2023]. 

Английское mural восходит к латинскому mūrālis, от mūrus 'стена', тогда как муравление — действие по глаголу муравить "спец. глазуровать, покрывать муравой", где мурава "спец. То же, что глазурь", происходит от персидского mūr "эмаль, глазурь". А вот глагол замуровать связан с тем же латинским mūrālis, от mūrus 'стена', хотя попал в русский язык этот корень через посредство польского, где имеется глагол murować (от mur «каменная стена»). 

В обоих случаях названия городов следует склонять.

Верно: об их.

О - об - обо

Выбор предлога зависит от того, с какого звука (гласного или согласного) начинается последующее слово и в какой падежной форме оно употребляется:

1) в винительном падеже перед словами, начинающимися согласными (кроме форм местоименных слов всё, всю, все, всех, что), употребляются предлоги о и об: споткнулся о порог и об порог; ударился о камень и об камень;

2) в винительном падеже перед словами, начинающимися гласными, употребляется только предлог об: споткнулся об острый камень;

3) в винительном падеже перед формами местоименных слов все, всё, всех, всю, что, а также что-либо, что-нибудь, что-то употребляется предлог обо: споткнулся обо все камни; Обо что ты споткнулся?

4) в предложном падеже перед словами, начинающимися согласными (кроме форм местоименных слов мне, всём, всей, всех), употребляется предлог о:  узнал о родственниках, вспомнил о невесте;

5) в предложном падеже перед словами, начинающимися гласными, употребляется предлог об: вспоминать об отце; задуматься об учебе;

6) в предложном падеже перед формами местоименных слов мне, всём, всей, всех употребляется предлог обо:узнал обо всех родственниках, вспомнил обо мне. Однако в художественной литературе возможно: о всем, о всей, о всех (Девушка пела в церковном хоре // О всех усталых в чужом краю... А. Блок).

Примечание. Нужно обратить внимание, что слова, начинающиеся с букв е, ё, ю, я, – это слова, начинающиеся с согласного звука [j]. Поэтому правильно: дискутировать о Европе, песня о ёлке, вспоминать о юных годах, говорить о «Яндексе» (не об).

Склоняется только последний компонент имени: Ким Чен Ира, Ким Чен Иру, Ким Чен Ира, Ким Чен Иром, о Ким Чен Ире.

Конечно, Вы можете принять участие во втором туре конкурса. В редакции подготовлены специальные поощрительные призы для участников второго тура, не вошедших в числов победителей первого тура или не принимавших участие в первом туре.

Правильное ударение по-прежнему украи́нский. Помета «устар.» в «Большом толковом словаре» относится к варианту укра́инский. Из всех орфоэпических словарей только «Большой орфоэпический словарь русского языка» дает укра́инский как допустимый вариант (но всё равно при предпочтительном украи́нский).

Столица Урала, янтарная столица — это образные описательные выражения. Они не стали неофициальными названиями, не фиксируются в таком качестве словарями, в текстах устойчиво пишутся со строчной буквы.

Возможно, осмыслению сочетания столица Урала как названия препятствует структура — «столица чего» (ср. столица России, столица Белоруссии, столица Кузбасса, столица Калининградской области). Слово столица воспринимается исключительно как родовое.

Сочетания прилагательного со словом столица похожи на типичные географические названия с родовым словом (Московская область, Белое море, Приморский край, Васильевский остров), что располагает к их использованию как названий. Сочетание Северная столица давно закрепилось в таком качестве и отмечено словарями, Уральская столица употребляется реже, но вполне корректно, например в названии статьи «В Уральской столице презентовали новую книгу об императоре Николае II» [Vesti.ru, 20.07.2016].

Сочетание янтарная столица, по данным Национального корпуса русского языка, менее употребительно, чем столица Урала или уральская (Уральская) столица, и обычно вводится в текст не как название, а как характеризующий оборот, например:

Это правда, что вы хотите переселить в Россию 15 тыс. специалистов-янтарщиков из Польши и Литвы и таким образом в перспективе сделать Калининград янтарной столицей мира? [Елизавета Маетная. «Янтарный комбинат превратился в бизнес: «выкопай и продай посреднику» // Известия, 29.05.2012];

Я был в Доминиканской республике трижды, и сам искал эти камни и находил, и конечно это удовольствие подарить такой камень, так как Калининград — это янтарная столица мира, и естественно, здесь должен быть такой камень тоже [Музей янтаря получил подарок с острова Гаити // Vesti.ru, 03.03.2009].

Интересно, что сочетание Янтарный край вполне может претендовать на фиксацию в качестве неофициального названия: оно стало устойчивым обозначением Калининградской области в современных текстах.

Да, конечно. Дом и камень – слова мужского рода. Ошибки в задании нет.