Верны оба варианта.
В варианте с предлогом слово коллеги зависит от глагола: пользуется (у кого?) у коллег. В варианте без предлога слово коллеги зависит от существительного: уважением (кого? чьим?) коллег.
Падеж определяется не по окончанию, а по вопросу, задаваемому от управляющего слова: выбросить (кого или что?) кота, карандаш — винительный падеж, нет (кого или чего?) кота, карандаша — родительный падеж.
Нормативными словарями современного русского языка глагол обезоружеть не зафиксирован. Однако возможность его образования поддерживается парами типа обессилить (кого) — обессилеть (самому), обезножить (кого) — обезножеть (самому) и т. п.
Как правило, в подобных названиях кавычки ставятся, однако написание конкретного названия зависит от регистрации в официальных документах.
Лучше так: Это одна из самых красивых машин среди тех, что я когда-либо видел.
Фамилия Подорожний склоняется следующим образом: - Именительный падеж (кто? что?) - Подорожний. - Родительный падеж (кого? чего?) - Подорожнего. - Дательный падеж (кому? чему?) - Подорожнему. - Винительный падеж (кого? что?) - Подорожнего. - Творительный падеж (кем? чем?) - Подорожним. - Предложный падеж (о ком? о чём?) - о Подорожнем.
Допустимы оба варианта. В толковых словарях С. И. Ожегова (а также С. И. Ожегова и Н. Ю. Шведовой) разрешается управление памятка кого, в «Большом толковом словаре» под ред. С. А. Кузнецова – памятка кому. В справочнике Д. Э. Розенталя «Управление в русском языке» зафиксированы данные варианты и третий возможный тип управления – памятка для кого.
В художественной литературе можно встретить примеры, подтверждающие возможность такого употребления; ср.: «Приятели Дмитриева по КПЖ (клуб полуженатиков), к которым Дмитриев кидался в минуты отчаянья, когда ссорился с Леной, были люди малоимущие — их состояния заключались у кого в автомобиле, у кого в моторной лодке, в туристской палатке, в бутылках французского коньяка или виски...» [Юрий Трифонов. Обмен].
Падеж словоформы врача в этом контексте установить невозможно: вопрос кого? не различает винительный и родительный падежи. Глагол бояться действительно может присоединять в качестве зависимого слова одушевленное существительное в винительном падеже (боюсь маму). Правда, следует заметить, что, согласно справочнику Д. Э. Розенталя «Управление в русском языке», такой вариант (бояться кого) имеет разговорную окраску. Нейтральная форма зависимого существительного при глаголе бояться — форма родительного падежа (боюсь мамы).
