Правильно: в Бабьем Яре.
Запятые не нужны. При употреблении не в начале предложения (или части сложного предложения) слова опять же не являются вводными и не обособляются.
Да, это вполне возможно.
Это слово пока не зафиксировано в нормативных словарях русского языка. Но по правилам сложные существительные с первой частью, иноязычной по происхождению, оканчивающейся на гласную и самостоятельно не употребляющейся, пишутся слитно. Правилам отвечает написание лоуфай. Это общий принцип: если слово отсутствует в словаре, то при наличии вариативности написания следует всегда выбирать написание по правилу, то есть написание системное, характерное для письма.
Корректно поэтому на данном этапе (в отсутствие словарной фиксации): лоуфай, лоуфай-музыка.
Это нестандартная конструкция. Сказуемым служит целое придаточное предложение. Средствами школьной грамматики такие конструкции не описываются.
Запятая нужна: она отделяет деепричастный оборот идя за услугой в МФЦ.
Да, так корректнее.
