Все мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный (кроме фамилий на -ИХ, -ЫХ), нужно склонять.
Правильно: улица Барские Сады.
Лучше словом.
Поскольку филиал — это подразделение компании, писать это слово с прописной буквы нет оснований: директор филиала в г. Москве.
Верно: ...города Москвы.
См. «Письмовник».
Достаточно одного тире. Возможно, лучше: Щербак заведовал кафедрой неврологии в Варшаве, Вермель – кафедрой терапии в Москве.
Запятая нужна. В целом предложение построено корректно, но возможно двоякие толкование ("нет улицы в таком роде, как Арбат" и "в Москве нет улицы старый Арбат").
Лучше всего: Он живет в Москве. В городе Москве - это канцелярский вариант.
Оба варианта верны. Принятый в живой речи порядок слов: Отрадная улица (здесь Отрадная выступает как определение, предшествующее определяемому слову, ср.: красная рубашка, а не рубашка красная).
