Кавычки в данном случае не требуются.
Да, нужно, поскольку в кавычки заключено предложение.
Правильно: МИД направил ноту.
Слова а я его интервью смотрел выступают в данном случае в роли вставной конструкции. Такие конструкции содержат дополнительные сведения, замечания, уточнения, пояснения, поправки к сказанному; разъясняют, толкуют основную часть высказывания. Вставные конструкции выделяются скобками или тире, но не запятыми. Корректно: Дуров (а я его интервью смотрел) ведёт себя как гражданин мира! или Дуров — а я его интервью смотрел — ведёт себя как гражданин мира!
Предложение односоставное.
Верно: поздравил все приглашенные семьи.
Возможен такой вариант: В современном мире общепризнан девиз «Потребитель – король современного общества!».
Правило можно прочитать в «Письмовнике».
Запятая нужна: Университет, открытый миру.
Запятые ставить не нужно.
