Зарекаться означает "дать зарок не делать чего-либо впредь", поэтому частица не не требуется: Я зарекался судить окружающих.
Слово окрас используется по отношению к животным и птицам и не может заменить слово окраска. В Ваших примерах следует использовать слово окраска.
Верно: Танина рука, Катина сумка, антоновская хитрость.
Имена прилагательные, образованные от личных имен, фамилий, кличек при помощи суффиксов -ов (-ев) или -ин и обозначающие индивидуальную принадлежность, пишутся с прописной буквы, напр.: Рафаэлева Мадонна, Шекспировы трагедии, Гегелева «Логика», Далев словарь, Иваново детство, Танина книга, Муркины котята.
Имена прилагательные, образованные от личных имен и фамилий при помощи суффиксов -ск-, -овск- (-евск-), -инск-, пишутся со строчной буквы, напр.: далевский словарь, дарвиновское учение, бетховенская соната, шекспировские трагедии, пришвинская проза, пушкинская гармония, суворовские традиции.
Подробнее читайте в справочнике Д. Э. Розенталя или справочнике под ред. В. В. Лопатина.
Предпочтительно с отрицанием: не чувствую чего (воздуха).
На практике - именно так, хотя теоретически в обоих случаях можно использовать либо опустить предлог.
См. вопрос 296246.
Да, можно. Предложение построено верно.
Верно: Я был на озере Байкал. Названия озер не склоняются в сочетании с родовым словом озеро. Исключение составляют случаи, когда топоним выражен прилагательным: на Онежском озере.
Запятая после в заключение не нужна.
Пунктуационное оформление предложения корректно.
