Формулировка «текущий контроль успеваемости проводится по каждой теме учебной дисциплины» не указывает явно, сколько раз должен проводиться контроль. 

Корректно: ...не дал ему пережить тяготы...

Корректно единственное число: Множественные фрагменты светло-серой ткани общим размером 1,5 х 1,0 х 1,0 см.

В официальном письменном тексте местоимения Вы и Ваш пишутся с прописной (большой) буквы как форма вежливого обращения к одному лицу: Уважаемая Анна Ивановна, ООО «Ромашка» выражает Вам искреннюю благодарность за многолетнюю службу, за те силы, терпение и время, которое Вы вложили в работу, и преданность профессии.

Объяснить можно по-разному, в зависимости от уровня знаний и интереса пятиклассника. Можно ограничиться следующим: у этих глаголов буквенная основа неопределенной формы и буквенные основы форм настоящего времени совпадают. Ср.:

Прыга/ть, прыга/л, прыга/ю, прыга/ет и т. д. – формы одного слова, поэтому у них одна основа.

Та же закономерность во многих (но не во всех) словах, заканчивающихся в неопределенной форме на ать: чита/ть – чита/ю, дума/ть – дума/ю, полыха/ть – полыха/ю. Но ср.: писа/ть – пиш/у, балова/ть – балу/ю.

Если же ребенок неплохо знает фонетику, то можно понаблюдать за звуковыми различиями основы.

В формах настоящего времени гласный сохраняется, он такой же, как в неопределенной форме. Это либо ударный [а] (чит[а]ть – чит[а]ет), либо безударный редуцированный [ъ] (прыг[ъ]ть – прыг[ъ]ет). Но есть интересное отличие: в настоящем времени добавляется согласный [j]. Прислушайся:

прыга[j]ют

прыга[j]ет

прыга[j]ешь

Получается, что основа неопределенной формы, заканчивающаяся на а, соотносится с основой настоящего времени, заканчивающейся на аj. Т. е. у глаголов не одна, две основы. Ср.: читать, читал, но читают, читает. А иногда и три! Основы глаголов по-разному соотносятся друг с другом. Но не бывает такого, чтобы основа неопределенной формы заканчивалась на а, а настоящего времени – на у.

Название улицы Борисовские Пруды добавили в «Словарь улиц Москвы». Спасибо за дополнение!

Рекомендация, приведенная в справочнике Д. Э. Розенталя, не соответствует современной норме письма. Во-первых, сама рекомендация более чем странная: Нарицательные существительные в составных географических названиях пишутся с прописной буквы, если они употреблены не в прямом значении и называют объект условно, например: Белая Церковь (город), Красная Поляна (город) ... Кузнецкий мост, Земляной вал (улицы), Никитские ворота (площадь)... Примеры противоречат правилу! Ведь Кузнецкий мост  – не мост, а улица, Никитские ворота – не ворота, а площадь, т. е. нарицательные существительные употреблены не в прямом значении, почему в таком случае они пишутся со строчной?

Во-вторых, не так давно в Институте русского языка им. В. В. Виноградова РАН была подготовлена новая редакция правил употребления прописных и строчных букв, отвечающая орфографической практике конца XX – начала XXI века и одобренная Орфографической комиссией при Отделении историко-филологических наук РАН. Эти правила приведены и в полном академическом справочнике «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина, и в орфографическом словаре В. В. Лопатина, И. В. Нечаевой, Л. К. Чельцовой «Прописная или строчная?». Согласно этим правилам, в названиях улиц, площадей, бульваров и т. п. с прописной буквы пишутся все слова, кроме родовых терминов (самих слов улица, площадь, переулок, проспект, бульвар и т. п.), а также слов года, лет. Таким образом, правильно: улица Коровий Вал, улица Кузнецкий Мост, улица Борисовские Пруды, площадь Никитские Ворота.

От глагола развить в значении 'распустить, раскрутить, расплести что-нибудь свитое, завитое' образуется форма причастия развитый, напр.: развитые волосы, развитый конец веревки.

Есть другой глагол развить – с большой системой значений, связанных с идеей совершенствования (развить мускулатуру, развить производство, развить мысль). От него образуется причастие, обладающее двумя равноправными вариантами ударения развитый и развитый. Словари для работников СМИ, которые, как правило, фиксируют только один вариант, рекомендуемый для эфира, выбирают ударение на первом слоге: развитое войсками наступление, развитая журналистами идея, развитая нами деятельность, развитый в умственном отношении.

Помимо причастий, существует еще и отглагольное прилагательное развитой, обладающее такими значениями:

1. Достигший значительного физического развития, окрепший. Р-ая грудь. Р-ые мускулы. Р-ая девушка (физически созревшая). // Крупный (о частях лица). Р. лоб. Р-ые скулы, челюсти. 2. Духовно зрелый, просвещенный, культурный или обладающий высокой степенью развития (2 зн.). Р. человек. Кто-л. эстетически, политически развит. 3. Достигший высокого уровня, высокой стадии развития. Р-ые страны. Р-ая промышленность. Р-ая литература. 4. только кратк. Распространенный, часто встречающийся. В степях развито скотоводство. В классе развита взаимопомощь. Бюрократизм и формалистика развиты в этом ведомстве.

Орфоэпические словари фиксируют это прилагательное с ударением только на последнем слоге, поэтому правильно  развитые страны.

Однако в отдельных толковых словарях встречается прилагательное развитый (‘обладающий высокой степенью экономического развития, имеющий высокий уровень развития экономики’), сопровождаемое примером Промышленно, экономически развитые страны (страны, обеспечивающие развитие собственной экономики за счет большого ранее накопленного капитала и высококвалифицированной рабочей силы).

Если приводится дословная цитата из текста Д. Писарева, то оформляется она именно так, как Вы оформили. Пунктуация при цитатах в справочниках обычно описывается отдельно от пунктуации при прямой речи, хотя эти явления очень близки друг другу. В научной литературе применительно к тому и к другому может использоваться термин чужая речь.

Корректно: В этот момент она бросила стакан на пол, и тот разбился на кусочки. Им начинало казаться, что еще немного – и они оторвутся от погони. Ему казалось: стоит этим предметам появиться в доме – и больше не к чему будет стремиться.