В русском литературном языке у глагола плыть есть значение "ехать на корабле, лодке и т. п.". Например: плыть на корабле, плыть в лодке, плыть на веслах. Поэтому словосочетание плыть на байдарке, поплывем на байдарке совершенно правильно, полностью отвечает литературной норме современного русского языка.
Но необходимо сказать вот о чем. Люди одной профессии или одного круга общения нередко вырабатывают своего рода "язык в языке", т. е. жаргон. Жаргон - это разновидность речи какой-либо группы людей, объединенных единой профессией или занятием, своего рода знак принадлежности к определенному кругу общения. И значения слов, лексическая сочетаемость слов внутри жаргона может существенно отличаться от литературного языка. Так, профессиональные кондитеры возмущаются, когда слышат словосочетание печь торт, они говорят собирать торт. Водитель трамвая не произнесет трамвай идет в депо, а скажет вагон идет в депо. Точно так же в речи участников водного похода устойчивым словосочетанием является пойти на байдарке, а плыть на байдарке ими однозначно воспринимается как ошибка.
Кстати, наш программист - любитель походов по горным рекам - полностью согласился со сделавшими Вам замечание туристами.

Правильно: Москвы-реки, Москве-реке, Москву-реку, Москвой-рекой, о Москве-реке. В непринуждённой устной речи Москва можно не склонять.

Правильным считаются оба варианта: обеспЕчение и обеспечЕние. У большого количества слов есть вариантные формы на -ие и на -ье, например: проклятие - проклятье, спасение - спасенье, признание - признанье, молчание - молчанье и т. п. При этом формы на -ие являются общеупотребительными и стилистически нейтральными, а формы на -ье характерны для разговорной и поэтической речи.

Общеупотребительно и стилистически нейтрально: я убираю в доме. Употребление слова убираться в значении «прибирать, убирать сор» допустимо в разговорной речи.

Допустимы оба варианта: чая и чаю. В современном литературном языке в количественном (партитивном) значении род. п. в письменной речи преобладает форма на -а (чашка чая). Но в разговорной речи часто употребляется флексия -у, особенно в глагольных конструкциях со значением неполного объекта (хочу чаю, добавить сахару и т. п.).

Это краткие причастия.

Правильно: город-миллионер (такова литературная норма). В разговорной речи допустимо город-миллионник (миллионник как просторечное обозначение чего-либо, что содержит в себе миллион чего-либо).

Это устаревший глагол, начальная форма -- речи (ударение на И), В. Даль указывает обе формы (рек и рёк) как правильные.

В словарях русского языка это слово не зафиксировано. Однако, так как слово трансгендер употребляется в русском языке, использовать его на новостном сайте можно, предварительно пояснив значение.

Морфология — раздел языкознания, изучающий части речи и их грамматические признаки.