Предпочтительно: написано восемь сочинений.
Здесь верно: Награждается ученица 3 класса МОУ "Школа № 29".
Да, несмотря на общее правило (об отсутствии точки в заголовке), в изданиях для начинающих читать детей точку в заголовке сохраняют, чтобы не мешать закреплению стереотипа: в конце предложения надо ставить точку.
В слове картофелина выделяется корень картофел-.
Корректно: На конверте имеется рукописный текст «На нужды класса» и неразборчивая подпись.
Верно: эконом- и премиум-класса.
Пояснительные согласованные определения (в данном случае: присущие широкому классу явлений и процессов) не выделяются, а лишь отделяются от поясняемого определения запятой.
Кавычки не нужны.
Обучающиеся в 5 классе, но ученики 5 класса.
Корректно: (кому) обучающейся в 10-м классе или учащейся 10-го класса.