Правильно: Что такое воспоминания и как мозг хранит их? Запятая не ставится, поскольку части сложносочиненного предложения объединены вопросительной интонацией.

Вариант с вопросительным знаком в середине предложения и последующей строчной буквой не соответствует современной пунктуационной норме.

В целом корректно. Обратите внимание на написание вас, при обращении к нескольким людям это местоимение пишется со строчной буквы. В последнем предложении лучше убрать "нашу": Разделите с нами радость в начале нашего большого совместного пути!

Корректно: российское Черноморье. Слово Черноморье пишется с прописной по правилу: с прописной буквы пишутся однословные производные (суффиксальные и приставочно-суффиксальные), преимущественно неофициальные, названия территорий, областей, местностей. Прилагательное российское не является частью наименования, поэтому пишется со строчной.

В названиях памятников пишутся с прописной буквы собственные имена и первое слово названия в кавычках. Начальное родовое наименование (т. е. само слово памятник) пишется со строчной буквы. Правильно: памятник маршалу Жукову, памятник народным ополченцам Москвы.

Верно написание родового слова со строчной: орден Предреченной Зари; цитадель Предреченной Зари. При использовании сокращенного названия вместо полного возможно написание единственного слова названия с прописной буквы: Я в Ордене с детства; Перед нами возвышалась Цитадель.

Выбор написания зависит от контекста и авторского замысла. Если стоит задача передать на письме бытовую, непринужденную речь, такое написание (строчными и без кавычек) уместно. Если контекст выходит за рамки обиходно-разговорного, понадобятся кавычки и прописные буквы.

Это название часто пишут с тремя прописными буквами, но по правилу и в соответствии со словарной фиксацией нужно писать Большая советская энциклопедия (см. словарь В. В. Лопатина, И. В. Нечаевой, Л. К. Чельцовой «Прописная или строчная?»).

Если сочетание центральная судейская коллегия является официальным названием организации, подразделения то оно может писаться с заглавной буквы. Если территориальных судейских коллегий несколько, то данное сочетание слов является родовым наименованием и его нужно писать со строчной буквы. 

Элемент да перед фамилией — это непереводимый на русский язык предлог. Непереводимые служебные слова перед иностранными фамилиями пишутся со строчной буквы. Исключения составляют те случаи, когда для определенных лиц закрепилась традиция включать служебный элемент в состав фамилии.