Правильно: Дубай. Это название склоняется.
Мужскую и женскую фамилию Нога нужно склонять.
Если коллега - мужчина, то его фамилия должна склоняться.
Склоняются обе части названия города: в Петропавловске-Камчатском полночь.
Название института предпочтительно заключить в кавычки и не склонять: Учреждение Российской академии наук «Институт физики твердого тела», Учреждению Российской академии наук «Институт физики твердого тела», Учреждением Российской академии наук «Институт физики твердого тела».
Правильно: в Каменце-Подольском.
«Словарь трудностей русского языка для работников СМИ» М. А. Штудинера рекомендует склонять первую часть названия: из Тринидада и Тобаго.
См. ответ на вопрос № 265817.
Если имеется в виду проект, который служит примером, то это не сложное слово, а определяемое слово с приложением. В этом случае склоняются обе части: проекта-примера.