На этот вопрос в справочной литературе можно найти противоположные ответы. В «Справочнике по правописанию, произношению, литературному редактированию» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой указано, что названия рек согласуются с родовым наименованием, и приведен пример между реками Обью и Енисеем. В то же время другие пособия указывают, что с географическим термином река наблюдается тенденция склонять названия женского рода и не склонять названия мужского рода: у реки Волги, но на реке Енисей.

На практике встречается как склонение, так и несклонение названий рек в подобных конструкциях, ср.: 

• Пространство между реками Доном и Непрядвой называлось Куликовым полем. С. Голицын. Сказания о земле Московской (1968-1988)
• Трудно было пробираться речными путями на Пясину, поэтому решили установить морскую связь между реками Енисей и Пясина. М. Белов. Мангазея (1969) 
• Пять тысяч лет назад такими «умными соседями» оказались жители двух речных долин — на Ниле (Египет) и между реками Тигр и Евфрат (Месопотамия). А. Алексеев. Из жизни древнего Египта // «Наука и жизнь», 2007

• Между реками Енисеем и Хатангой (в так называемом Енисей-Хатангском региональном прогибе) открыты газовые залежи, и специалисты прогнозируют наличие здесь нефти. Е. Сидорова. Притяжение Арктики // «Наука в России», 2012.

Таким образом, допустимы варианты, и окончательное решение в подобной ситуации — за автором (редактором) текста. Ошибки в любом случае не будет.

Словарь имён собственных

Это слово, безусловно, существует (иначе бы Вы о нем не спрашивали), но вопрос о нормативности и нейтральности этого слова, как и ряда других феминитивов (блогерка, редакторка, авторка и др.) вызывает в настоящее время ожесточенные споры, выходящие далеко за рамки споров о языке. Ход этой дискуссии и аргументы сторон в рамках ответа «Справки» невозможно обрисовать даже кратко. Скажем только, что, хотя в словарях современного русского литературного языка слово режиссерка в качестве нейтрального не зафиксировано, для некоторых носителей языка использование этого слова по отношению к женщине вместо слова режиссер является важным и значимым. Подробно об истории феминитивов и спорах вокруг них Вы можете прочитать в книге Ирины Фуфаевой «Как называются женщины. Феминитивы: история, устройство, конкуренция» (М., 2020).

Для ответа на Ваш вопрос мы свяжемся (в ближайшее время) с профессором Владимиром Владимировичем Лопатиным.

Согласно словарям, ударение в косвенных падежных формах падает на окончание:

Словарь имён собственных

Да, слово существует, например: Нет же, навсегда он будет для них ― незадавшийся полководец, несправившийся командарм (Г. Н. Владимов. Генерал и его армия).

Собственные существительные подчиняются тем же правилам переноса, что и нарицательные. В соответствии с ними они либо подлежат переносу (Рос-сия, Вла-ди-мир), либо не подлежат (Азия, Майя).

У носителей фамилий, которые совпадают с именами нарицательными, а а также с личными именами или географическими названиями, возникает стремление отличить эти фамилии при помощи переноса ударения (см. фамилии Крыса́, Бо́рец и под.), но чаще всего — при помощи несклонения этих фамилий. Поэтому несклонение подобных фамилий допускается. Однако фамилии, совпадающие с существительными жен. рода (Даль — даль, Метель — метель и т. п.), должны последовательно склоняться, так как именно склонение позволяет отличить их отсоответствующих апеллятивов: с Владимиром Далем, об Иване Метеле. 

По правилам слово конноспортивный надо писать слитно (оно образовано от сочетания конный спорт). И в словарях дано слитное написание, Вы правы. Однако возникновение подобных споров доказывает правоту лингвистов, которые давно говорят, что правило о слитном/дефисном написании прилагательных на основе соотношения основ (подчинение/сочинение) не охватывает все сложные случаи и зачастую не помогает решить вопрос о написании слова. В современной письменной речи из этого правила уже очень много исключений. Еще в 1970-е годы лингвисты предлагали ориентироваться на формальный признак: если в первой части сложного слова есть суффикс прилагательного или причастия – пишем через дефис (естественно-научный), если нет такого суффикса – пишем слитно. Такому правилу соответствует написание конно-спортивный, и оно зафиксировано в словаре Б. З. Букчиной, Л. П. Калакуцкой «Слитно или раздельно?» (см., напр., 6-е изд. М., 1987).

Многие подобные написания закрепились в письменной речи и зафиксированы нормативными орфографическими словарями как исключения из действующего правила (например, естественно-научный, лечебно-физкультурный, авторско-правовой, народно-хозяйственный и мн. др.). Но при этом слово конноспортивный дается в современных словарях в слитном написании (т. е. в данном случае предлагается руководствоваться действующим правилом). См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.