Таковы правила склонения числительных: порядковое числительное 2000-й является сложным, а 2002-й — составным.
Да, первое слово в официальном названии организации пишется с большой буквы (в данном случае это слово Центр).
Правильно: заменить что чем: заменить старое оборудование новым.
Выбор предлога и формы слова зависит от контекста.
Новый год пишется с прописной только как название праздника. В значении 'наступающий год; следующий год' правильно написание со строчной: С нового года эта услуга станет коммунальной.
Обратите внимание, что первое предложение построено некорректно. Верно: В настоящее время вывоз мусора является жилищной услугой.
Да, тире в этих случаях нужны.
Дело в том, что у слова год существует две формы родительного падежа множественного числа: годов и лет (вторая форма - супплетивная, то есть образованная от другой основы). При этом форма лет используется в счетных конструкциях: пять лет, много лет и т. п.; но: в начале 90-х годов.
Все слова, кроме слова год, должны быть написаны с прописной: год Синей Деревянной Лошади.
