Верно: Тренч — одна из немногих модных вещей, которые просто не способны испортить фигуру.

Возможны оба варианта согласования - и в мужском, и в женском роде.

Такой стилистический приём — парцелляция — может быть оправдан и уместен, если нужно передать отрывистую речь или подчеркнуть  слово предал.

Написание стилистически сниженных слов кодифицируется академическим орфографическим словарем. О слове походу см. ответ на вопрос № 307574. 

Наименования самостоятельных подразделений образовательных организаций (институтов, колледжей и т. п.), как правило, пишутся с прописной буквы. Однако в каждом конкретном случае требуется уточнять написание в уставе соответствующей организации.

Правильность сочетания немного ветрено не вызывает сомнений. В значение слова ветрено (=ветреный) не входит компонент 'в большой / малой степени'. Это значение вполне может быть выражено при прилагательном или наречии отдельным словом, ср.: Вечером перемерзли на тяге, было очень ветрено и все-таки нельзя сказать, чтобы не тянуло (М. М. Пришвин); Завтра будет немного ветрено, но обещают хороший, крепкий денек без осадков (В. Г. Лидин). 

В значение слова дождливо (=дождливый) входит компонент, "обильный, сильный". Сочетание с наречием, выражающим высокую степень проявления признака и как бы усиливающим признак, называемый прилагательным или наречием, вполне допустимо и встречается в литературе. А вот сочетание со словом, указывающим на небольшую степень проявления признака, кажется алогичным. Однако в литературе, хоть и не часто, подобные сочетания встречаются и не кажутся неудачными, например: У нас всё ещё стоит небывалая осень — ночные заморозки быстро исчезают утром, стоят тёплые, иногда немного дождливые дни (А. Эфрон). Возможно, подобные сочетания возникают благодаря возможности образовывать составную сравнительную степень: более дождливый, менее дождливый.

Корректно: занял первое место на чемпионате, в  и на первенстве, на выставке, на фестивале.

Определительный оборот, стоящий после определительных, указательных и притяжательных местоимений (в том числе после местоимения всё), обычно тесно примыкает к ним и запятой не отделяется. Но запятая всё-таки возможна: если определительный оборот имеет характер пояснения или уточнения, то он обособляется. Поэтому окончательное решение здесь – за автором текста. У А. П. Чехова запятая в этом предложении стоит.