Употребление множественного числа при составном числительном, оканчивающемся на один, возможно. Пример с придаточным определительным предложением при таком числительном есть в правилах согласования подлежащего и сказуемого в справочниках Д. Э. Розенталя. 

«При составных числительных, оканчивающихся на один, сказуемое, как правило, ставится в форме единственного числа, например: Двадцать один делегат прибыл на совещание; ...было подано сразу тридцать одно заявление (Шолохов). Форма множественного числа данной конструкции может быть обусловлена контекстом, например: Двадцать один делегат встретились за круглым столом (сказуемое-глагол встретились указывает на взаимное действие, которое выражается формой множественного числа); Двадцать один ящик с посудой, которые были доставлены на базу, попали туда по ошибке (влияние придаточного предложения с союзным словом которые в форме множественного числа); За все уплачено 231 рубль (при формальной роли подлежащего счетный оборот имеет значение обстоятельства меры в страдательной конструкции); Двадцать один студент не явились на экзамен (эмоционально окрашенный разговорный вариант, подчеркивающий количество отсутствовавших)».

Однако лучше предложение перестроить, чтобы избежать грамматической неловкости.

Аббревиатуры, оканчивающиеся на гласный, как правило, присваивают род стержневого, центрального слова расшифровки, указывает словарь Л. К. Граудиной, В. А. Ицковича, Л. П. Катлинской «Грамматическая правильность русской речи». Далеко не все аббревиатуры на гласный относятся к среднему роду: они могут быть и мужского рода, например: ЦСКА (по опорному слову клуб), и женского рода, например: ЮНЕСКО (по опорному слову организация).

Теперь об аббревиатуре США. Здесь ответ однозначный: это неизменяемая аббревиатура pluralia tantum (так в лингвистике называются слова, имеющие формы  только множественного числа), поскольку опорное слово в расшифровке аббревиатуры – штаты – стоит в форме множественного числа. Правильно: по всем США.

Что касается смены у некоторых аббревиатур категории рода – такое, действительно, случается: если аббревиатура часто используется, у нее может появиться свой род, соответствующий внешней форме слова-сокращения, его фонетическому облику. Однако аббревиатуре США переходит в мужской род «не грозит»: форму мужского рода приобретают аббревиатуры, оканчивающиеся на твердый согласный, например: ВАК (хотя комиссия), вуз (хотя заведение).

1. Да, такое правило существует, оно подробно описано в "Русской грамматике" (М., 1980). Если кратко, то форма на -У для ряда слов второго склонения соответствует "местному" значению предложного падежа (где - в лесу, в порту, на дому).

2. Это винительный падеж. Цитируем "Русскую грамматику":

Во мн. ч. последовательно выражается принадлежность слов к лексико-грамматическому разряду существительных одушевленных или неодушевленных (см. § 1129). Исключение составляют формы вин. п. одушевленных существительных муж. и жен. р., совпадающие с формой им., а не род. п. мн. ч., в таких сочетаниях, как 1) выбрать в депутаты, поступить в машинистки, пойти в летчики; 2) играть в казаки-разбойники, в дочки-матери, в кошки-мышки.

Примечание. В том случае, если слово, называющее лицо, во мн. ч. не употребляется как название игры, то в сочетании с глаголом играть употребляется форма вин. п., совпадающая с формой род. п., например: играть в казаки-разбойники, но играть в чапаевцев, в космонавтов.

1. Государственным органом в полном смысле этого слова портал «Грамота.Ру» не является; посетителям, которым необходимо получить официальный ответ государственного органа, мы рекомендуем обращаться к нашим коллегам из Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН. В то же время наш портал был создан по рекомендации Совета по русскому языку при Правительстве Российской Федерации; работа портала в сети Интернет возможна только благодаря государственной поддержке (осуществляемой Федеральным агентством по печати и массовым коммуникациям).

2. Точка в заголовке, действительно, не ставится. Но в школьной практике (особенно в начальной школе!) к заголовкам наподобие Классная работа. Домашняя работа. Диктант. и т. п. это правило обычно не применяют, более того, отсутствие точки считают ошибкой. Это делается для того, чтобы  у детей выработался стереотип: в конце предложения надо ставить точку. На наш взгляд, с учительницей спорить не стоит: пусть Ваша дочь ставит точки, если таково требование педагога, а в старшей школе к этому вопросу можно будет вернуться.

Действительно, иногда имя, прозвище, определение создается из предложно-падежного или глагольного сочетания и, чтобы графически показать единство многословной номинации, слова соединяют дефисами. Однако это лишь художественный прием и орфографический эксперимент, в некоторых случаях оправданный большой длиной имени и необходимостью показать его правую границу. В широко известных руководствах по правописанию можно найти примеры оформления подобных имен: Петушок со шпорами, Некто в сером. В недавно вышедшей научной работе по правописанию в разделе о прописных и строчных буквах предложено правило для подобных названий, дефис в соответствии с орфографической традицией в них не используется: 

В именах персонажей, выраженных предложно-падежным сочетанием или глагольным сочетанием, с прописной буквы пишется только первое слово, напр.: Рике с хохолком, Кот в сапогах, Кот в шляпе, Некто в сером, Петушок со шпорами, Двое из ларца, одинаковых с лица, (лиса) Принеси огня. (Е. В. Арутюнова, Е. В. Бешенкова, О. Е. Иванова. Прописные и строчные буквы в собственных именах. Общеупотребительные графические сокращения. М., 2023.)

Вот, что об этом пишет М. А. Штудинер в послесловии к «Словарю трудностей русского языка для работников СМИ» (М., 2016): «Современный русский язык унаследовал из древнерусского языка ударение на окончании в существительных, сочетающихся с числительными два, три, четыре, оба: два часа, два шага, два ряда, две стороны. Это реликтовые формы именительного падежа двойственного числа, воспринимаемые современным языковым сознанием как формы родительного падежа единственного числа. Сейчас варианты с ударением на окончании, как в приведенных примерах, постепенно вытесняются вариантами с ударением на корне. В наибольшей степени это касается словосочетания обе стороны, часто звучащего в информационных программах, но, как правило, произносимого журналистами по-новому – с ударением на корне. Мне кажется, что в данном случае еще можно удерживать старую норму».

Добавим, что в корпусе словаря М. А. Штудинера варианты две стороны и две стороны, обе стороны и обе стороны даны как равноправные, однако для журналистов рекомендовано ставить ударение на окончании.

Увы, такое прилагательное не зафиксировано в академическом орфографическом словаре. Правило гласит, что "пишутся через дефис прилагательные, образованные из двух или более основ слов, обозначающих равноправные понятия, напр.: выпукло-вогнутый, садово-огородный, научно-технический, общественно-политический, прядильно-ткацкий, административно-командный, мясо-молочный, звуко-буквенный, фарфоро-фаянсовый, приходо-расходный, спуско-подьёмный, азотно-калийно-фюсфюрный, бело-сине-красный (флаг), чёрно-белый, англо-русский, японо-китайский, афро-азиатский, волго-камский, урало-сибирский, кирилло-мефодиевский". Однако из этого правила имеется много исключений. Так, пишутся слитно, несмотря на равноправное по смыслу отношение основ, прилагательные глухонемой, буровзрывной, пароводяной, водовоздушный, газопаровой, газобензиновый, нефтегазовый, тазобедренный и др. Слитному написанию таких слов способствует отсутствие в первой основе суффикса относительных прилагательных (−н-, −енн-, −ое-, −ск- ).

Орфографический словарь-справочник Б. З. Букчиной и Л. П. Какалуцкой "Слитно или раздельно?" (М.: Русский язык, 1998) предлагает слитное написание сливоналивной, однако нужно иметь в виду, что это авторский, а не нормативный лексикографический источник. В практике письма тем не менее явно преобладает дефисное написание сливо-наливной. 

Правило гласит:

Если корень оканчивается на ч, то пишутся: буква а в формах глагола скака́ть и производных от него глаголов (напр.: скачу́, скачи́, обскачу́, обскачи́, поскачу́, поскачи́), а также в слове скачо́к (проверкой служат формы тех же глаголов – напр., ска́чет, поска́чем, и производные ска́чка, вска́чь); буква о – в приставочных глаголах на −скочить (напр.: вскочи́ть, вскочу́, вскочи́, вы́скочить, вы́скочу, вы́скочи, соскочи́ть, подскочи́ть) и в слове вы́скочка (проверка – формами тех же глаголов, кроме вы́скочить: вско́чит, соско́чат и т. п.).

Ср.: проскачу́ (сто вёрст), проскачи́ (формы глагола проскака́ть, проска́чет) и проскочу́, проскочи́ (формы глагола проскочи́ть, проско́чит); подскачу́, подскачи́ (формы глагола подскака́ть, подска́чет ‘приблизиться вскачь’) и подскочу́, подскочи́ (формы глагола подскочи́ть, подско́чит ‘быстрым движением приблизиться к кому чему н. или резко подняться’).

Специальных правил оформления литеры в названии класса нет. В прочих случаях литерные добавления, как правило, пишутся строчными буквами без кавычек и присоединяются без пробела и без дефиса к предшествующей цифре: рисунок 1а, пункт 2д, дом 3а и т. д. Поэтому по аналогии можно было бы написать 1а класс, класс 10г, но на практике такой вариант не используется.

Наиболее распространены варианты оформления с прописной литерой, заключенной в кавычки: наш 10-й «Б», поступил в 1-й «А» класс и т. д. Такое оформление особенно уместно в тех случаях, когда литера располагается не сразу после числительного (или когда числительное вообще отстутствует): 10-й класс «Б»; классы «А» и «Б».

При написании числительного словом используется аналогичное оформление: первый «А» класс, десятый «Б». Ср.: Здесь можно было переждать какую-нибудь опасность, покурить, поговорить с девчонкой – словом, свой девятый «В» Мельников не случайно обнаружил именно здесь. Г. Полонский, Доживем до понедельника. Служкин запустил девятый «А» в кабинет и раскрыл классный журнал. А. Иванов, Географ глобус пропил.

Напомним правило:

Обороты с производными предлогами и предложными сочетаниями обязательно обособляются, если они располагаются между подлежащим и сказуемым: разрыв их непосредственной связи и способствует выделению оборотов.

А теперь, собственно, к проблеме: считать ли слова "с помощью" и "при наличии" производными предлогами? В словарях эти сочетания обозначаются как выступающие "в значении предлога", но не как собственно прелоги. В чем различие? В том, что в русском языке возможны полноценные словосочетания помощь друзей и наличие друзей, в которых слова помощь и наличие - главные компоненты; настоящие производные предлоги таких сочетаний обычно не образуют. Сравните: благодаря, вопреки, ввиду, в целях, в связи с, во избежание, вследствие, по случаю, по причине, при наличии, согласно с, в отличие от, в противоположность, наподобие, при условии, в силу, за отсутствием, несмотря на, невзирая на, спустя, независимо от... (Согласны, в некоторых случаях образовать словосочетание получится, но это уже вопрос, скорее, к формулировке правила.)

Таким образом, на наш взгляд, в приведенных Вами двух последних примерах постановка запятой обязательной не является.