Ваш тезис верный, но не исчерпывающий. Действительно, если сочетание фиксируется словарем без кавычек, это достаточное основание для написания без кавычек.

За последние десятилетия появилась устойчивая тенденция не изменять исходной формы названия населенных пунктов на -ов(о), -ев(о), -ин(о), -ын(о), если они употреблены в качестве приложения, вместе с родовым наименованием. Правильно: в городе Ярцево. Если же родового слова нет, правильны оба варианта, склоняемый и несклоняемый: в Ярцеве и в Ярцево.

В зависимости от интонационного рисунка фразы возможно тире в одной из двух позиций: 1) Офицер — дверь с ноги и исчезает; 2) Офицер дверь с ноги — и исчезает.

Корректно с пробелами.

Да, запятую нужно поставить.

Слово зайчата стоит в винительном падеже. А определить, в каком падеже стоит слово – в винительном или в родительном, всегда может помочь мама.

Вместо слова, которое вызывает затруднение, подставляем слово мама. У него формы винительного и родительного падежей различаются: Р. п. – нет  мамы, а В. п. – вижу маму. Принесли зайчат (принесли маму) – В. п., но глаз не спускает с зайчат (глаз не спускает с мамы) – Р. п.

Падеж определяется не по окончанию, а по вопросу, задаваемому от управляющего слова: выбросить (кого или что?) кота, карандаш — винительный падеж, нет (кого или чего?) кота, карандаша — родительный падеж. 

Междометие, конечно, не склоняется, но в данном употреблении оно субстантивируется и выполняет функцию, присущую именно прямому дополнению. Не случайно и определения к нему имеют форму винительного падежа: этот факт указывает на то, что в дополнении подразумевается тот же падеж.

Здесь требуется родительный падеж. Употребление творительного падежа будет означать, что некто намеревается оказать на кого-то режущее воздействие цепной пилой.

На месте разрыва прямой речи словами автора точка ставится в некоторых особых случаях — о них идет речь, например, в вопросах № 325744 и 326441. Слова автора при этом начинаются с прописной буквы.