Сочетание федеральное законодательство пишется строчными.
Обособление не требуется, поскольку деепричастие имеет значение обстоятельства образа действия и частично утратило глагольное значение.
Читайте об этом в «Горячей десятке вопросов».
Правильно: Первая мировая война, Вторая мировая война, Петровские реформы.
Правильно: Ему присвоено звание «Заслуженный врач РФ».
Правильно: Раннее Возрождение, Высокое Возрождение, Позднее Возрождение. См.: Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2011.
Если имеется в виду научное Лондонское королевское общество, то верно: английское Королевское общество (слово английский не входит в официальное название организации).
Слово новогодний пишется строчными буквами.
Вы написали верно: с прописной буквы и в кавычках.