1. Если после приветствия Добрый день вместо восклицательного знака стоит запятая, тогда следующее слово нужно писать с маленькой буквы (даже если оно пишется с новой строки).

2. Если Вы обращаетесь не к одному человеку, а к нескольким лицам, тогда вы пишется строчными.

3. Возможны обе конструкции, но Извините... более нейтральная.

4. Правильно: звонИт.

5. Этот вопрос, строго говоря, не является лингвистическим. Но здравый смысл подсказывает, что две подписи в письме – это перебор.

Автор неизвестен.

Что русскому здорово, то немцу смерть – что хорошо одним, может быть губительно для других. По одной из версий, происхождение этого оборота связано с конкретным случаем. Однажды молодой врач, приглашенный к безнадежно больному русскому мальчику, разрешил ему есть все, что он захочет. Мальчик съел свинину с капустой и, к удивлению окружающих, начал поправляться. После этого случая врач прописал свинину с капустой больному немецкому мальчику, но тот, поев, на следующий день умер. Выражение было распространено в русской литературе XIX века.

Это выражение встречается в литературе. Обычно оно не требует пояснений, потому что ясно из контекста. Вот несколько примеров:

«Здорово, Степка, ― скажу я. ― Дай пять… (Только не жми, а то у меня руки отекли…) [Л. Кассиль. Кондуит и Швамбрания (1928-1931)] 

Ну, старик, помиримся. Дай пять. Не хочешь? Ну и черт с тобой! До свиданья. [В. Катаев. Миллион терзаний (1930)]

Парень вынул из глубоких недр кармана руку и протянул мне. Голую, безоружную руку. ― Дай пять! ― мрачно сказал он. Я дал. ― Ты мой любимый артист! [Р. Нахапетов. Влюбленный (1998)]

Починять примус (в переносном смысле) - заниматься своими делами, никому не мешать. Оборот восходит к роману "Мастер и Маргарита" Михаила Афанасьевича Булгакова:

...В гостиной на каминной полке, рядом  с хрустальным кувшином, сидел громадный черный кот. Он держал в своих лапах примус.
     В полном молчании вошедшие в  гостиную  созерцали  этого кота в течение довольно долгого времени.
     -- М-да... действительно здорово, -- шепнул один из пришедших.
     --  Не  шалю,  никого  не   трогаю,  починяю  примус,  --  недружелюбно насупившись, проговорил кот, -- и еще считаю  долгом  предупредить, что  кот древнее и неприкосновенное животное.

Увы, нам тоже не удалось найти ответ на этот вопрос. Возможно, точкой отсчета следует считать документы, регламентирующие так называемый «орфографический режим» в школе и появившиеся после орфографической реформы 1956 года. Первым из таких документов стал приказ Министерства просвещения РСФСР от 20.09.1961 г. № 308 «О мерах повышения уровня знаний учащихся по русскому языку», касающийся в том числе и оформления работ учащихся.

Верно: выполняет задачи и обладает полномочиями. В перечне лучше написать: задачами и полномочиями... являются (далее в им. п.).

Да, в первой строчке должно быть что бы. В данном случае это не авторское написание, а орфографическая ошибка, которую надо исправить.

В этом заголовке слово путешествуя совершенно точно является деепричастием: оно называет дополнительное действие по отношению к основному действию, названному глаголом жить. При этом есть правило, согласно которому деепричастный оборот не обособляется, если он тесно связан по содержанию со сказуемым и образует смысловой центр высказывания, например: Жили Артамоновы ни с кем не знакомясь (М. Г.), Старик шёл прихрамывая на правую ногу и т.  п. Однако заголовок Жить (,) путешествуя не представляет собой предложения, и оценить, образует ли деепричастие смысловой центр высказывания, здесь едва ли возможно. Это аргумент в пользу постановки запятой. Сравним пример предложения, в котором деепричастие играет особую коммуникативную роль и не обособляется: Это здорово — жить путешествуя!

Обе фразы корректны. Хотя более употребительно: Если хочешь быть здоров - закаляйся (а не закаливайся).