Да, слова уют и ютиться (также приют) этимологически родственные (однако в современном русском языке однокоренными они не являются). При этом слово ютиться – наиболее позднее образование из этой группы слов, с искусственно, произвольно извлеченным корнем, образовано оно, по-видимому от слова приют (т. е. слово приют было воспринято как слово с приставкой при- и корнем -ют, и этот «корень» послужил основой для создания слова ютиться).

Что касается происхождения слова приют, то его этимология до конца точно не установлена. Возможно, это слово восходит к тому же древнему индоевропейскому корню, что и слово приятель, –*priio-. От этого же корня образованы многие слова со значением 'любовь; дружба, привязанность' в других индоевропейских языках.

Оба выражения нормативны, хотя сочетание поднять взгляд более употребительно. Но см., например: Он умолкнул... он поднял глаза... перед ним явилось опять все мироздание, необъятный океан света, коего волны быстро летели и гармоническим громом своим славили Вседержителя [В. А. Жуковский. Взгляд на землю с неба (1825-1834)]; Так и вышло — запнулся и завяз… завяз и покраснел; покраснел и потерялся; потерялся и поднял глаза; поднял глаза и обвел их кругом; обвел их кругом и — и обмер… [Ф. М. Достоевский. Двойник (1846)]. 

В этом предложении лишняя запятая перед союзом. Корректная пунктуация: Первый из них, пользующийся авторитетом технократ Нхлахла Нене, был «назначен на другой пост» после того, как он выразил несогласие с непомерными планами расходов.

Да, запятая между "но" и "во всяком случае" нужна. 

Спасибо большое за интересное предложение!

Но слово может быть добавлено в словарь литературного языка тогда, когда оно перестанет быть индивидуально-авторским образованием и начнет использоваться многими носителями русского языка. Такие примеры (человек придумал слово, и все его подхватили и начали использовать) в истории русского языка есть, но они весьма редки.

Да, тире нужно. Оно стоит между подлежащим глаза и сказуемым-существительным мотивация.

Предпочтительно (но не обязательно): не открывая глаз.

Слово значит нужно отделить запятой. А вот порядок слов может быть свободным; в разговорной речи возможно: Начинай, значит, учиться; начинай учиться, значит.

Название, относящееся к родовому наименованию, заключается в кавычки и не склоняется: учиться в ГБПОУ «Самарский энергетический колледж». Ср.: учиться в Самарском энергетическом колледже.