С большой буквы Солнце пишется только как астрономический термин, в значении 'центр Солнечной системы': вращение Земли вокруг Солнца. При употреблении в нетерминологическом значении (восход солнца, смотреть на солнце), в переносных значениях (ты мое солнце), а также в значении 'центр других планетарных систем' солнце пишется с маленькой буквы.
Правилами допускается употребление прописной буквы в первом (или единственном) слове усеченного названия, если оно употребляется вместо полного.
Верно: до полутора миллионов долларов.
Пишется со строчной буквы.
Правильно: под подпись или под расписку.
Верно: в Бабьем Яре.
Лучше написать латиницей, но при написании буквами русского алфавита уместно будет поставить дефис.
Лучше: справочник по использованию оборудования, по работе с оборудованием (или инструкция к оборудованию).
Верно: гитлерюгенд.
Верны оба варианта: научные стажировки за рубежом и зарубежные научные стажировки. Если мы не вполне поняли Ваш вопрос, пожалуйста, уточните его.
