Корректно: альпинистские кошки.
Формы на -у, -ю вещественных и некоторых других существительных (рюмка коньяку, чашка чаю, килограмм сахару) имеют количественное значение, обозначают часть целого. Ср. без количественного значения: производство коньяка, белизна сахара, вкус чая. Раньше формы на -у, -ю считались предпочтительнее, если речь шла о части целого. В наши дни такие формы употребляются всё реже и происходит выравнивание по основной модели, не связанной с определенным значением. Сейчас наряду с формой чашка чаю вполне допустима (а многими даже предпочитается) форма чашка чая. Формы на -у, -ю обычно сохраняются в словосочетании, где существительное зависит от глагола: выпить чаю, поесть супу, добавить сахару. При этом сочетания выпить чая и выпить чай тоже возможны.
Корректно: освободить 24 моряка. Предложенный Вами вариант не употребителен даже в разговорной речи (двадцать четырех моряков).
Корректно: до верха. Но: наполнить банку доверху.
Это устойчивое (фразеологизованное) выражение - угроза наказания.
Правильно: точное число.
Правильно: ласк (от ласка 'нежность'), но: ласок (от ласка 'животное').
О том, как набрать разные кавычки на клавиатуре, можно прочесть в соответствующей статье «Википедии».
Если речь о морщинах или конфетах, то кавычки нужны.
