Запятая после союза но не требуется.
Запятая не нужна: После 4-дневного пребывания он был выписан.
Слово желательно не является вводным, запятая не требуется.
Без контекста ответить на этот вопрос невозможно. Нужно видеть предложение полностью.
Обособляется определительный оборот, стоящий после определяемого слова.
По общему правилу тире не требуется, но для логического подчеркивания, интонационного выделения оно вполне может быть поставлено.
Все правки (кроме примера 4) спорные. В примере 1 запятую зачеркивать не стоило: обороты с предлогом помимо в знач. 'кроме' могут обособляться и, как показывает практика письма, чаще обособляются. Во втором примере возможны и тире, и запятая; окончательное решение принимает автор текста. В примерах 3 и 5 постановка запятых зависит от смысловых оттенков, от интонации, однозначного ответа здесь быть не может. В примере 4 запятая после не на кого обязательна: здесь кончается придаточное предложение.
Дополнительные знаки препинания в этом предложении не ставятся.
Поскольку перед составным союзом есть слово особенно, запятая ставится между частями союза и не ставится перед ним: "Панцирь-СМ" на базе "Торнадо" заслуживает особого внимания особенно после того, как в "Панцире С1" нашли недостатки.
Подробнее см. в "Справочнике по пунктуации".
