Корректно: Центр досуга «Радуга» прежде всего дом для молодежи.

Запятая нужна, она ставится между частями сложноподчиненного предложения.

Верно: Награждается ученица 4 класса "Ж" Савельева Елизавета, занявшая 1-е место в школьной олимпиаде.

Запятая нужна, так как частица только относится не к придаточной части когда дошло до пристанища, а к последующей главной. В этом можно убедиться, переставив придаточную часть: Или привечали Богодула в Матёре больше, или по другой какой причине приглянулся ему остров, но только Богодул, когда дошло до пристанища, выбрал Матёру.

В третьем предложении из приведенных Вами частица только также стоит между союзом но и словом когда, но она относится к придаточной части. Перестановка придаточной части ведет к искажению смысла. Ср.: Приписать отрывку какой-то смысл очень легко, но только когда мы рассмотрим его в непосредственном контексте, мы сможем по-настоящему понять, что хотел сказать автор и Приписать отрывку какой-то смысл очень легко, но только мы сможем по-настоящему понять, что хотел сказать автор, когда мы рассмотрим его в непосредственном контексте. 

В двух других примерах перед частицей только нет союза. В них действуют такие правила.

1. Не ставится запятая между главной и следующей за ней придаточной частью сложноподчиненного предложения, если перед подчинительным союзом или союзным словом стоит отрицательная частица не. Ср.:  В море, в качке, спишь не когда хочешь, а когда можешь; Он знает не только где водится дичь, но и какие её разновидности там обитают.

2. Если перед подчинительным союзом стоят усилительные частицы как раз, только, лишь, исключительно и т. п., то запятая ставится перед ними вопреки интонации (при чтении пауза перед ними не делается). Ср.: Я эту работу выполню, только если буду свободен.

Верно написание со строчной буквы.

Оба варианта верны.

Расход топлива - экономный и экономичный.

Обстоятельственный оборот с деепричастием совмещая выделяется запятыми. 

Можно воспользоваться любым современным справочником по правописанию.

Запятая перед чем нужна. Название лучше писать кириллицей в кавычках. Если требуется написать латиницей, то кавычки не нужны.

1. Раковины тек-тек, крабы тру-лу-лу, пиво «Сейбрью».

2. Креветки медведки.

3. Род. падеж — (от) Сейшел.