Да, во всех подобных звательных формах мягкий знак не пишется: Миш, Танюш, Саш, Наташ и т. д. Связано это вот с чем. Во-первых, мягкий знак пишется после шипящих на конце существительных в именительном падеже (мышь, фальшь), формы Миш, Танюш, Наташ – особые, это усечение именительного падежа (Миша, Танюша, Наташа). Во-вторых, написание Ь в словах типа мышь, рожь обусловлено исключительно традицией, историей языка, истоки такого написания стоит искать в древнерусском языке. Неслучайно поэтому каждый раз, когда заходит речь об усовершенствовании нашей орфографии, лингвисты предлагают отменить написание Ь после шипящих на конце слов, писать мыш, рож, фальш и т. д. (такие предложения звучали и в 1910-е, и в 1930-е, и в 1960-е). А звательные формы Миш, Танюш, Саш, Наташ, Серёж  возникли недавно, у них нет такой древней истории, как у слов мышь, рожь, поэтому мягкому знаку на конце этих форм просто неоткуда взяться.

Простите, но вопрос, который Вы задаете («почему в России много подчеркивают»), сам по себе плохо понятен, а если к тому же Вы не хотите уточнить, в каком значении используете слово подчеркивают, ответить на этот вопрос и вовсе не представляется возможным.

Предпочтительно использовать кавычки разного рисунка: АО «МТЗ “Трансмаш”». Вариант АО «МТЗ «Трансмаш» допустим, если нет технической возможности использовать кавычки разного рисунка. Написание МТЗ «Трансмаш» верно.

В данном случае пунктуация зависит от интонации. На наш взгляд, предпочтительны два варианта: Ну у Цветаевой, по-моему, это на все времена: да, здоровье и, да, смысл и Ну у Цветаевой, по-моему, это на все времена: да — здоровье и да — смысл.

Сочетание указывает на источник сообщения, поэтому правильно его обособление как вводного.

Корректно: на Олимпиаде (но: в соревнованиях).

К сожалению, в рамках краткой справки дать ответ не представляется возможным.

Ваш вариант пунктуации верен, запятая перед союзом И не нужна.

Это предложение с однородными сказуемыми, поэтому запятая перед союзом и не нужна.