Выбор варианта зависит от того, идет ли речь об одном помещении или нескольких.
Правильно: власти предержащие. Подробно об этом сочетании рассказывается в статье Ю. Л. Воротникова.
Наращения здесь не требуются, Вы написали верно. Об использовании наращений читайте в "Письмовнике".
Верно: ...открылась 150-я аптека, открытие 150-й аптеки. Об использовании наращений читайте в "Письмовнике".
Женская фамилия Адата склоняется следующим образом: Адата, Адаты, Адате, Адату, Адатой, (об) Адате.
Нужна запятая перед и наоборот. Подробно об этом см. в "Справочнике по пунктуации".
Правильно: тихой сапой. Об этом выражении см. в «Справочнике по фразеологии».
Если речь идет об исторической эпохе, то правильно с прописной: состоятся Дни Средневековья.
Об этой орфографической проблеме можно прочитать в информационно-поисковой системе Орфографическое комментирование русского словаря.
В приведенных названиях кавычки не нужны. Об употреблении кавычек подробно рассказывается в «Письмовнике».