Верно: под наблюдение врача.
Правильно: под подпись или под расписку.
Правильно: невыгулянный пес.
В значении "встретились" корректно: съехались под Москвой.
Правильно: лизнуть нос.
Правильно: промок под дождем.
Первый вариант предпочтителен.
Слово стритфуд в словарях пока не зафиксировано, а фуд-корт по-прежнему дается через дефис, как и другие слова на фуд-. В «Академосе» так:
фуд-ко́рт, -а
фуд-ма́стер, -а
фуд-проце́ссор, -а
фуд-се́рвис, -а
фуд-стили́ст, -а
фуд-стили́стика, -и
фуд-фото́граф, -а
фуд-це́нтр, -а
фуд-шо́у, нескл., с.
По общему правилу род аббревиатуры в начальный период ее образования и использования в литературном языке определяется по роду опорного слова полного наименования. Поэтому сейчас предпочтительно употреблять аббревиатуру ТОС как слово среднего рода: ТОС «Мирный» продолжило...
А вот дальше возможны варианты. Ведь род звуковой инициальной аббревиатуры зависит не только от рода опорного слова, но и от внешнего фонетического облика аббревиатуры, точнее – от ее концовки. Если аббревиатура оканчивается на согласный, то она очень часто со временем закрепляется как аббревиатура мужского рода. Например, в современном русском языке только мужского рода аббревиатуры вуз (хотя заведение), МИД (хотя министерство), загс (хотя запись). Это явление присуще многим аббревиатурам широкого и длительного употребления. Очень вероятно, со временем ТОС тоже будет восприниматься как слово мужского рода.
