В соответствии с требованиями к оформлению научных работ такая конструкция может быть оформлена как со знаком препинания (двоеточием), так и без него.
Фраза построена неудачно. Возможные варианты: Иванов Петр Иванович, родившийся 23.05.1999; Иванов Петр Иванович, 1999 г. р. Однако следует признать, что формулировка такой-то, 01.01.1990 года рождения... устоялась в канцелярской речи и вошла во многие шаблоны и образцы. В ней возможны варианты пунктуации: либо поставить обе запятые (выделить дату рождения как уточнение), либо убрать оба знака.
Нужно смотреть по контексту, но чаще пишется без запятой: Директор Иванов Иван Иванович.
Да, можно. Уместность такого сокращения зависит от ситуации и контекста.
Ректор и академик – неоднородные приложения, запятой они не разделяются.
Фамилия склоняется: клиентом Ивановым.
Это так называемое эллиптическое предложение (самостоятельно употребляемое предложение с отсутствующим сказуемым). Такие предложения обычно читаются с паузой, которая отмечается знаком тире: Много новых товаров и никакой рекламы — с приложением нашего маркетплейса (без тире возникает сочетание реклама с приложением, что едва ли входит в замысел автора).
