Да, такая фамилия склоняется: Катеринки, Катеринке, Катеринку, Катеринкой, о Катеринке.
Мужские и женские фамилии на -а, -я неударное склоняются. См. https://gramota.ru/biblioteka/spravochniki/pismovnik/kak-sklonyat-familii-obshchie-rekomendatsii
Слово заведующий управляет творительным падежом: заведующему (чем?) Муниципальным бюджетным дошкольным образовательным учреждением «Детский сад № 121» Лебедевой Наталье Алексеевне.
Возможен первый вариант, но лучше перестроить фразу, например: принадлежность объектов права обществу.
Орфографически верно: драма по Станиславскому.
Из фамилий на ударную а, стоящую после согласной, не склоняются только французские и финские. Правило см. в «Письмовнике» (пункт 13.1.11). В удобном для практического использования виде правила представлены на сайте «Современный русский».
Корректно: Элги Холмицкой.
Пожалуйста, воспользуйтесь «Письмовником».
В обоих случаях эта фамилия склоняется.