Основной принцип выбора между прямой или косвенной речью состоит в том, что́ важно для автора — передать чье-то высказывание дословно, со всеми лексическими особенностями формулировок, или изложить только содержание этого высказывания, в отвлечении от формы. Слово типа вводит особую разновидность прямой речи, которую можно обозначтить как «наглядно-примерная». Оформление такой речи специально не оговорено в справочниках по пунктуации, однако это всё-таки прямая речь, поэтому рекомендуем оформлять ее так, как Вы оформили приведенные в вопросе примеры.

мандат Неба / небесный мандат

Для корректного написания термина из китайской политической философии рекомендуется использовать форму мандат Неба с прописной буквой в слове Неба и строчной в слове мандат. Такой вариант является наиболее распространённым и общепринятым в научной и публицистической литературе по теме. Вариант небесный мандат (оба слова со строчной) также встречается, особенно в более общем, описательном контексте, но он менее точен с точки зрения традиционного понимания концепции и может восприниматься как обычное словосочетание, а не термин.

У слова второй отмечено значение «такой, статус которого на одну ступень ниже по сравнению с основным, первым», среди иллюстративных примеров приводится предложение В институте Иван Иванович – второе после директора лицо (см. значение 1.2 у слова второй³ в «Большом универсальном словаре русского языка»). Судя по этим данным, выражение второй после N будет понято как синонимичное сочетанию первый после N. Обособление сочетания после N в этом случае не влияет на смысл высказывания.

Оборот с производным (непервообразным) предлогом благодаря может обособляться в зависимости от некоторых условий. Основные из них перечислены в нашем «Справочнике по пунктуации».

Обычно обособляются обороты, которые:

• располагаются между подлежащим и сказуемым: Достаточно надавить пальцем на глазное яблоко, и все реальные предметы – в отличие от галлюцинаций – раздвоятся. А. и Б. Стругацкие, Понедельник начинается в субботу. Левая стена, в противовес правой, отражала концепцию ранней смерти. И. Ефремов, Час быка. И мать, наперекор всем несчастьям, собрала меня, хотя до того никто из нашей деревни в районе не учился. В. Распутин, Уроки французского (...);
• находятся не в начале и не в конце предложения: Ровно в три часа, в соответствии с трудовым законодательством, принес ключи доктор наук Амвросий Амбруазович Выбегалло. А. и Б. Стругацкие, Понедельник начинается в субботу. ...Я заново изучил ситуацию в Праге, которая должна стать – наравне с Веной и альпийским редутом – центром решительной битвы против большевизма. Ю. Семенов, Семнадцать мгновений весны. На первых порах чего только, наряду с похвалами моему художеству, не наслушался я! В. Катаев, Трава забвенья;
• содержат объяснение того, о чем говорится в предложении, и выделяются интонационно: ...Детям, по причине малолетства, не определили никаких должностей, что, впрочем, нисколько не помешало им совершенно облениться… И. Тургенев, Малиновая вода. Кстати, Бим вовсе не представлял, ввиду отсутствия опыта, что по таким задохлым полупетухам никто никогда не отсчитывает время. Г. Троепольский, Белый Бим Черное Ухо.

В приведенном Вами предложении этих условий обособления нет.

Такой пример не только в словаре Ушакова, но и во многих других толковых словарях. Сочетания по дорогой цене, по дешевой цене зафиксированы как нормативные в «Большом толковом словаре русского языка» С. А. Кузнецова, в «Русском толковом словаре» В. В. Лопатина и Л. Е. Лопатиной; значения «о цене: высокий», «о цене: низкий» зафиксированы у слов дорогой и дешевый в «Толковом словаре русского языка» С. И. Ожегова и Н. Ю. Шведовой... Следует признать, что эти сочетания соответствуют литературной норме (с некоторым оттенком разговорности).

Ответ можно найти в толковом словаре:

РИСКОВЫЙ см. Риск.

РИСКОВЫЙ, -ая, -ое. Разг.-сниж.
1.
=Рискованный (1 зн.). Р-ое дело. Р-ая операция.
2.
Готовый на риск, идущий на риск. Р. паренёк! Молодые да рисковые!

РИСКОВАННЫЙ, -ая, -ое; -ван, -ванна, -ванно.
1.
Содержащий риск, связанный с риском (1-2 зн.). Р-ая игра. Р-ое дело. Р-ая операция.
2.
Такой, который может быть неправильно понят, истолкован. Р-ая шутка! Р-ая тема для дискуссии.
Р. туалет. < Рискованно, нареч. Действовать р. Рискованность, -и; ж. Р. ситуации.

Форме мн. числа тапочки соответствуют формы ед. числа женск. рода тапочка (им. пад.), тапочки (род. пад.), тапочке (дат. пад.) и т. д. Форме мн. числа тапка — формы ед. числа женск. рода тапка (им. пад.), тапки (род. пад.), тапке (дат. пад.) и т. д.

Формы муж. рода тапочек и тапок (им. пад.), тапочка и тапка (род. пад.), тапочку и тапку (дат. пад.) и т. д. встречаются в речи. Словари расходятся в их оценке, но общий вывод пока можно сделать такой: предпочтительны формы жен. рода.

Учитель прав. Здравствуй(те) и извини(те) могут быть междометиями (см. ресурс «Проверка слова») и формами повелительного наклонения глаголов здравствовать и извинить (здравствуйте долгие годы, извините меня).

Строго говоря, при такой формулировке задания, которую приводите Вы, выписывать эти слова было не нужно, т. к. в словаре слова даются в своей начальной форме (для глаголов это форма инфинитива: здравствовать и извинить). Раз в словаре даны формы здравствуй и извините, следовательно это междометия. Но знание таких тонкостей вряд ли можно требовать от учеников 4-го класса.  

Применительно к специальной литературе крайне странно говорить о неожиданном присоединении — такой «спецэффект» органичен только для художественных текстов, а потому в приведенном контексте тире неуместно. Представляется также необходимым оформить фрагмент как единое предложение: После наполнения бака водой реле уровня срабатывает и закрывается задвижка подачи воды, автоматически включается компрессор и открывается задвижка подачи сжатого воздуха (если всё перечисленное действительно происходит после наполнения бака водой; если же компрессор включается и задвижка открывается в какой-то другой момент, нужно указать, что это за момент).