С прописной следует написать Министерство культуры Украины, Министерство культуры России. А вот "наше министерство культуры" - со строчной.

Запятую можно поставить, но это необязательно. Оба варианта пунктуации будут верны.

Специальных правил об употреблении отчеств нет. Выбор формы имени зависит от многих факторов — возраста, социальной дистанции, ситуации общения и др. Есть имена, которые невозможно в русской культурной традиции употребить без отчества. Например, ощущается нарушение этической нормы, когда произносят или пишут имена Дитмар Розенталь, Сергей Ожегов, Дмитрий Ушаков. Корректно только Дитмар Эльяшевич Розенталь, Сергей Иванович Ожегов, Дмитрий Николаевич Ушаков. Отчества используются в официальных ситуациях, они могут выражать уважительное отношение к человеку.

Об употреблении отчеств, о современной тенденции к сокращению русской именной формулы можно прочитать в научных работах, например в статье М. Э. Рут «Вокруг отчества: почти публицистические заметки» (Вопросы ономастики. 2021. Т. 18. № 1).

Сочетание можно осмыслять по-разному, то есть по-разному определять границы имени собственного, и в зависимости от осмысления выбирать графическую форму. Запятая возможна, если считать красный нос приложением, также возможно тире. Дефис объяснить труднее. Можем осторожно предположить, что с помощью дефиса хотели показать слитность, цельность сочетания, которое присоединяется к первой части имени как единый компонент. О собственных именах с приложением можно прочитать в научной статье «Прописные и строчные буквы в собственных именах, прозвищах, псевдонимах, кличках: Проект академических правил». 

См. словарную статью:

Книжн. Обычно несов. Чаще 3 л. наст. вр. или прош. вр. Недосточно хорош, не удовлетворяет, не соответствует определенным требованиям. С сущ. неодуш.: проект, книга, настроение… оставляет желать лучшего.

Статья оставляет желать лучшего, ее необходимо доработать.

Иногда засядет и в месяц окончит картинку, о которой все кричат как о чуде, находя, впрочем, что техника оставляет желать лучшего… (В. Гаршин.)

Да и сам ассортимент, качество пищи в этом заведении оставляли желать лучшего. (Е. Попов.)

Действительно, как бы (а также типа) в последнее время очень часто употребляются неоправданно, в не свойственных им контекстах, вопреки их значениям и сложившимся лексическим и грамматическим связям (я ему как бы позвонил, он типа опоздал и т. п.).

Однако, несмотря на «запятнанную репутацию», слова как бы  входят в состав современного литературного языка, их оправданное употребление не является нарушением литературной нормы. Как бы может выступать в функции союза (он кивнул головой, как бы в знак согласия; она боялась, как бы ребенок не простудился) и в функции частицы, выражающей приблизительное подобие, сходство (ответил как бы нехотя). Такое употребление слов как бы, конечно, возможно в письменной речи.

Слова солнце и луна имеют формы множественного числа, но эти формы ограничены в употреблении. Разумеется, невозможно множественное число при употреблении слов Солнце и Луна как астрономических терминов в значениях соответственно 'центральное тело Солнечной системы' и 'естественный спутник Земли': такое Солнце одно и такая Луна одна. Они пишутся с прописной и употребляются только в единственном числе.

Однако слово солнце употребляется во множественном числе в значении 'центральное тело других планетных систем', например: полет к далеким солнцам, а также в индивидуальном авторском контексте (у Маяковского: в сто сорок солнц закат пылал).  Парадигма мн. числа: солнца, солнц, солнцам, солнца, солнцами, о солнцах.

Слово луна употребляется во множественном числе в значении 'спутник любой планеты', например: две луны Марса; сколько лун у Нептуна?