Правильно: в городе Нью-Йорке, в штате Нью-Йорк. Топонимы обычно не склоняются в сочетании с родовым словом штат. А вот в сочетании с родовым словом город топоним склоняется, если он русского, славянского происхождения или представляет собой (как в рассматриваемом примере) давно заимствованное и освоенное наименование. Такие названия можно считать исключениями из процитированного Вами правила (статья дополнена этим примечанием).
Приведенного Вами контекста теперь достаточно, чтобы ответить на вопрос. Поскольку во второй части предложения есть соотносительное слово то, запятая между что и если не ставится: ...понял, что если ему удастся спасти Источник (...), то, пожалуй, всё здесь со временем придёт в норму...
Слова тем не менее вводными не являются. О пунктуационном оформлении этих слов см. в «Справочнике по пунктуации».
Управление зависит от значения. В значении 'неохотно расходовать, скупиться' возможно: жалеть что (винительный падеж) и жалеть чего (родительный падеж). В значениях 'чувствовать жалость' и 'беречь, оберегать, щадить' глагол жалеть управляет винительным падежом (жалеть кого-что): жалеть сирот, жалеть подругу.
Таким образом, если в приведенном Вами примере глагол употребляется в значении 'неохотно расходовать, скупиться', возможны варианты: дело и дела.
«Словарь русского капиталистического жаргона начала XXI века» В. С. Елистратова (М., 2013) дает такое определение жаргонному глаголу пушить: 'оказывать давление с какой-либо целью, стараться склонить к чему-либо, заставить сделать что-либо, а также прорабатывать, отчитывать' (от англ. to push в близких значениях). Но в приведенном Вами контексте вполне возможна замена такими словами: буду ее решать, вплотную займусь ею.
Предложенная вами пунктуация возможна. Обратите внимание: сочетание гнездо из тросточек неудачно. Тросточка — тонкая, лёгкая трость; трость — палка для опоры при ходьбе. Может быть, имелись в виду не тросточки, а тростинки? Тростинка — тонкий стебель тростника, камыша; вообще стебелёк кустарника.
Сочетание из тростинок может относиться к слову собранная, тогда необходима еще одна запятая: собранная, как птичье гнездо, из тростинок; подвижная...
В школе при синтаксическом разборе предложения для выделения предлогов используются разные приемы. Предлог может подчеркиваться так же, как член предложения, к которому он относится. Например, в приведенном Вами предложении сочетание в продолжение времени является обстоятельством, его можно подчеркнуть тире с точками. Другой распространенный вариант – заключение предлогов в треугольник. Конечно, треугольник в данном случае получается весьма кривой.
Корректно: Рассмотрев ваше обращение, сообщаем: в ООО «Рога и копыта» отсутствует потребность в мотоциклах на 2021 год.
Между частями бессоюзного сложного предложения ставится двоеточие, если в первой части посредством глаголов видеть, смотреть, слышать, знать, понимать, чувствовать и т. п. делается предупреждение, что далее последует изложение какого-либо факта или какое-нибудь описание (в этих случаях между частями можно вставить союз что).
Извините за задержку с ответом. Французские фамилии, оканчивающиеся на -а ударный, не склоняются. Итальянские фамилии, оканчивающиеся на -а безударный, обычно изменяются по падежам, хотя бывают и исключения. Приведенная вами фамилия Таска д'Альмерита, по-видимому, итальянская, но она является, ко всему прочему, названием винного хозяйства данной семьи и торговой маркой производимого ими вина, поэтому в практике употребления закрепился несклоняемый вариант.
Учительница права в том, что детей нужно учить сокращать слова. Но в то же время нужно учить пользоваться общеупотребительными графическими сокращениями, знать принципы сокращения слов. Так, приведенный Вами пример сокращения явно неудачен: такой способ сокращения, во-первых, не способствует экономии усилий пишущего (сокращение получается ненамного короче полного слова) и усилий читателя; во-вторых, такой способ сокращения в принципе неупотребителен.
Если приведенная Вами фраза – часть сложного предложения, присоединяемая союзом в связи с чем (..., в связи с чем прошу Вас...), то запятую надо ставить перед союзом. Если же это самостоятельное предложение, то вместо В связи с чем лучше сказать В связи с этим (нехорошо начинать предложение со слов в связи с чем). Запятые в этом предложении не нужны.
