Слово кстати в этом предложении действительно является наречием. Сочетание кстати и некстати входит в ряд обстоятельств, зависящих от сказуемого втискивали. Эти обстоятельства представлены как дополнительная информация, добавочные сведения (= «всюду втискивали науку, причем кстати и некстати...»), то есть представляет собой присоединительную конструкцию. Добавим, что, поскольку эта конструкция включена в предложение без союзов, предпочтительно было бы поставить тире: ...мы всюду втискивали науку — кстати и некстати, с умыслом и без умысла, искусно и неискусно. Впрочем, запятая в этих случаях также используется, и она не ошибочна.

Следует использовать либо одни закрывающие кавычки, либо кавычки разного рисунка.

Лучше, конечно, выразить мысль как-то иначе.

В параграфе "Тире в бессоюзном сложном предложении" справочника Д. Э. Розенталя есть следующее правило: "Если вторая часть бессоюзного сложного предложения представляет собой присоединительное предложение, перед ней ставится тире: Души у вас нет, у вас самолюбие вместо души — вот что я вам скажу". Таким образом, в указанном Вами предложении также следует поставить тире.

К сожалению, теологические споры вне нашей компетенции.

В биинфинитивных предложениях всё именно так и есть: сказуемое составное именное с формальной связкой, в настоящем времени она имеет нулевую форму, а в других временах и наклонениях такие предложения, как правило, и не встречаются, хотя возможно, например: Споткнуться было проиграть. Намного употребительнее варианты с полузнаменательной связкой: Споткнуться означало проиграть.

Ничего удивительного в том, что именной компонент выражен инфинитивом, нет: ведь инфинитив и возникал как именная форма глагола, способная выполнять все функции имени. Отсюда побочный, но важный вывод: надежным критерием для разграничения составных именных и составных глагольных сказуемых является не тип присвязочного компонента, а тип связки.

А вот предложения типа Наша задача — помочь для анализа труднее, потому что это предложения-перевертыши. В настоящем времени — полное впечатление, что задача — подлежащее, помочь — сказуемое (и тогда оно тоже составное именное). Но стоит попытаться перевести предложение в план прошедшего времени, как оказывается, что существительное норовит принять форму творительного падежа: Наша задача была помочь — сомнительно, а вот Нашей задачей было помочь — намного удовлетворительнее. При замене связки на полузнаменательную существительное может быть только в Т. п.: Нашей задачей оказалось просто помочь друзьям. Между тем нам известно, что конкуренция форм И. п. и Т. п. характерна как раз для именной части сказуемого (Маша артистка — Маша была  артистка / артисткой — Маша оказалась артисткой) и исключена в подлежащем. Следовательно, в таких предложениях, как Наша задача — помочь, грамматическое устройство вступает в противоречие с коммуникативной структурой. С коммуникативной точки зрения сущ. в И. п. является темой, состав которой воспринимается как подлежащее, а с грамматической точки зрения оказывается, что сущ. в И. п. — именной компонент сказуемого, а подлежащее — инфинитив.

Каков вопрос?

Каков вопрос?