Глаголы остаться и оставаться различаются видом, что отражается и в их значениях. Остаться — глагол совершенного вида, обозначает факт завершенного действия, указывает на достижение результата (хотя бы в данный момент), например, когда после происшествия или события кто-то остался живым. Оставаться — глагол несовершенного вида, указывает на длительность или привычное состояние, например, когда кто-то продолжает быть живым в течение какого-либо времени.

Неужели - частица. Ее употребление, в отличие от вводных слов, ограничено двумя синтаксическими позициями: 1) в начале вопросительного предложения: Неужели он ее любит?; 2) В ответной реплике: Он ее любит. - Неужели!

Напомним, что место вводных слов в составе предложения не фиксировано.

Поставленная Вами запятая нужна. Сочетание "сердце экономической жизни" не вполне корректно стилистически.

Приложение, поясняющее местоимение мне и имеющее дополнительное значение причины, нуждается в обособлении: Я уверен, что данный опыт позволит мне, как ступающему на путь практической юриспруденции выпускнику, определить дальнейшие точки роста в достижении профессиональных целей.

Корректно: Принимаем только деньги. По стоимости выйдет чуть дороже, чем сами билеты: нам нужно что-то кушать, а значит, попросим плату за оформление; Если их нет, значит, билеты дешевле кончились или их вовсе не было.

Если вопрос касается пунктуации при слове значит, то отметим, что в разных справочниках это слово может иметь разную синтаксическую трактовку и, соответственно, могут даваться разные рекомендации по его пунктуационному оформлению. Подробно об этом см. в статье: Руднев Д. В., Друговейко-Должанская С. В. Союз или вводное слово? // #ТОТСБОРНИК: Сборник научных трудов по материалам Тотального диктанта. Вып. 4 / Отв. ред. Н. Б. Кошкарёва. — М., 2019. — С. 134–140.

Запятая перед одиночным союзом и, соединящим придаточные части, не нужна: ...им хорошо известно, кто где живет, у кого где дача и в какую школу ходят их дети.

Живем как на вулкане - без запятой (это фразеологизованное выражение). Живем, как на островах - с запятой.

Обстоятельства, выраженные наречиями, не обособляются. Например: Сегодня хорошее утро. А вот вводные слова выделяются запятыми и в начале, и в середине, и в конце предложения. Правильно: Вернее, доброе утро.