Верно: из Москвы.
В конструкциях с отрицанием при образованных от переходных глаголов деепричастии или причастии, в связи с книжным характером этих форм, используется родительный падеж: не покидая Москвы.
Оба варианта написания не слишком корректны, так как в них нет информации о том, где именно предстоит работать приглашаемым.
Названия склоняются: на Лесной улице.
Корректно: по Первой улице.
Что именно ПО или НА улице Бабушкина? Идти - по улице, жить - на улице.
Корректно: дома на Советской улице.
Сочетание остановка имени Лизы Чайкиной будет означать, что остановка названа в честь Лизы Чайкиной (ср.: Канал имени Москвы). На самом деле остановка, очевидно, названа по какому-либо объекту, носящему имя Лизы Чайкиной, например по близлежащей улице Лизы Чайкиной (как в Москве, на Ленинградском проспекте). Слово имени совершенно лишнее и при таком употреблении, правильно: улица Лизы Чайкиной, остановка «Улица Лизы Чайкиной».
Название города склоняется: Выезд в г. Москву.
