Последнее время мы уделяем ему большое внимание – корректное сочетание, так можно сказать. См. также ответ на вопрос № 270837.
Верны оба варианта.
Такая конструкция носит разговорно-сниженный стилистический оттенок. Нейтральны и общеупотребительны привиеденные Вами варианты: через некоторое время, через какое-то время.
Существительное современье (в значении "современность", "настоящее время") изредка употребляется в художественных и публицистических текстах, например: Да, Пушкин стар для современья, Но Пушкин Пушкински велик [К. И. Чуковский. Эгофутуристы (1922)]; Он почти каждый день бывает в книжной лавке писателей в Леонтьевском, познакомился с Бердяевым и считает Ходасевича «самым глубоким поэтом современья». [С. Ф. Буданцев. Японская дуэль (1926)].
Не с глаголом пишется раздельно: не замечаю.
Международный стандарт обозначения времени – через двоеточие.
Запятые ставить не нужно.
Корректно: Сколько времени?
Как название исторической эпохи - Новейшее время (с прописной буквы).
