Правилен первый вариант, где употребляется отрицательная частица не. Она выражает полное отрицание того, что обозначает слово или сочетание, перед которым она стоит.
Частица ни усиливает или абсолютизирует отрицание. Она становится союзом, соединяя однородные члены, относящиеся к слову с отрицанием не или слову нет, которое может быть опущено, например: Он не боится ни воды, ни ветра. Ему нельзя ни пить, ни курить. Ах, я не верю ничему: ни снам, ни сладким увереньям, ни даже сердцу твоему (Пушкин). Ни до, ни после такого не видывал (никогда). Этого не знает ни стар, ни млад (никто). Нет ни сил, ни желаний. И нет ни декора вокруг дома, ни новых клумб, ни фигурок лебедей. На небе ни месяца, ни звезд. Ни уму, ни сердцу.
См. в учебнике С. Г. Бархударова «Правила русской орфографии и пунктуации».
Правильно: план дней открытых дверей.
Знаки препинания расставлены верно.
Запятую после вводного слова скорее нужно поставить.
Новых правил нет, с маленькой буквы написание Вы при обращении к одному лицу некорректно. См. в «Письмовнике».
Тире уместно.
Правильно: достигать чего-либо. Сотрудники достигают новых профессиональных высот.
Пунктуация верна.
