Интересный вопрос. С одной стороны, такие слова, даже нарочито сниженные, жаргонные, обладающие ярко выраженной отрицательной экспрессией, всё равно продолжают указывать на названия государств, т. е. остаются именами собственными. Для слова Совок в таком значении есть и словарная фиксация — правда, не в орфографическом словаре, а в толковом:

Большой толковый словарь русского языка

2. СОВОК, -а; м. Разг.-сниж. 1. [с прописной буквы] О Советском Союзе, советской власти. Жить в Совке. 2. О том, у кого сильны привычки и навыки, сложившиеся в условиях господства коммунистической идеологии. // собир. О гражданах Советского Союза.

Словарь, таким образом, предлагает использовать прописную еще и для того, чтобы отличать Совок 'Советский Союз' от совок 'человек'.

В практике письма написание подобных сниженных названий с прописной встречается: Диверсионно-штурмовой батальон чеченских шахидов в змеином сердце Пиндостана (В. Пелевин, Любовь к трем цукербринам). А коров соседских видели? У нас в Рашке такие только на выставке ВДНХ стояли! (И. Муравьева, Документальные съемки). Хотя для слова совок преобладает написание строчными во всех значениях.

С другой стороны, эмоционально-экспрессивная окраска, содержащаяся в таких названиях, часто подкрепляется именно написанием со строчной. Строчная буква становится дополнительным средством выражения пренебрежения, презрения — того, ради чего эти слова и используются. Поэтому окончательное решение, вероятно, следует оставить за автором текста: он может выбрать прописную или строчную в зависимости от стоящих перед ним стилистических задач.

Речь идет о женщине-психиатре, верно? Тогда предпочтительно: мой психиатр похожа...

Спасибо Вам за интересный вопрос! Ответ на него прозвучит в одном из ближайших выпусков передачи «Игра слов».

Слова перекрасачки не существует. Однако предложенной формуле соответствует вполне реальное слово перекраски.

Форма ромалэ — обращение к цыганам, форма множественного числа, например: Привет, ромалэ! Цыгане — рома́. Так что в интересующем Вас случае разумнее употреблять форму ромалы, хотя в цыганском языке она отсутствует. 

Запятая в обоих случаях ставится.

Предлог в здесь не нужен. Верно: Каждую субботу она...

Корректно: Напомните студентам о том, что личный пример является важной частью процесса воспитания учеников и что если они хотят воспитать других наставников, они сперва сами должны стать таковыми.

Раздельное написание не правильно. Но есть пунктуационная ошибка: необходимо поставить запятую после слова гармонии.