Запятую ставить не нужно.
Позиция после сочинительного союза, находящегося в начале предложения, не препятствует расчленению сложного союза для того чтобы, однако если придаточная часть предшествует главной (а здесь именно такой случай), запятая чаще ставится после всей придаточной части, то есть предпочтителен вариант: Но для того чтобы себя улучшать, вам нужно... См. параграф 34.1 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя и приведенный там пример, аналогичный Вашему (с союзом но в начале предложения и следующим за ним сложным союзом прежде чем): Но прежде чем этот кусок успевал упасть на землю, рабочий с необыкновенной ловкостью обматывал его цепью в руку толщиной (Купр.).
Примите во внимание более широкий контекст и уточните значение слова проблема в высказывании. Возможно, обнаружится лексическая неточность. Пока же в столь лаконичном фрагменте мы речевых недочетов не увидели.
Сочетание для сравнения в данном случае воспринимается как неполное предложение с восстанавливаемым глаголом речи или, шире, передачи информации: Для сравнения сообщу/напомню. Соответственно, вся конструкция представляет собой бессоюзное сложное предложение с изъяснительными отношениями. В таких предложениях ставится двоеточие: Для сравнения: жители этой страны не платят налог.
Для запятой нет оснований. Наречие одновременно не является вводным словом, хотя в данном случае и близко по значению к вводному сочетанию кроме того.
Всё верно, ошибок нет.
В "Русском орфографическом словаре" эти названия даются без кавычек, так и следует писать.
Словарной фиксации нет, дать точные рекомендации невозможно.
Все верно.
Дать рекомендации без контекста затруднительно.
